جَبْر، یا جبر و مقابله یا حسابِ جبر و مقابله، شاخه‌ای از ریاضیاتِ دوران اسلامی که موضوع آن استخراج مجهولات از معلومات از راه حل معادلات و با استفاده از روشهای حسابی و هندسی و نیز روشهای خاص این علم است. همچنین این شاخه از ریاضیات به حساب چندجمله‌ایها نیز می‌پردازد. امروزه، در اثر تحولاتی که به‌ویژه از سدۀ 19م/13ق تاکنون رخ داده، واژۀ جبر بر یکی از علوم ریاضی اطلاق می‌شود که موضوع آن بررسی ساختارهای جبری (گروه، حلقه، هیئت،...) است و حل معادلات و حساب چندجمله‌ایها تنها بخش کوچکی از آن به‌شمار می‌آید. اما ما در این مقاله این واژه را به مفهومی که در دوران اسلامی داشته است، به کار خواهیم برد.
معنای واژه‌های جبر و مقابله: واژۀ «الجبر» (در فارسی: جبر) نخستین بار در عنوان المختصر فی حساب الجبر والمقابلة اثر محمد بن موسیٰ خوارزمی (ه‌ م) به کار رفته، و پس از آشنایی اروپاییان با این کتاب (نک‌ : دنبالۀ مقاله) با مختصر تغییراتی (مثلاً به صورت algebra در انگلیسی و algèbre در فرانسه) به زبانهای دیگر راه یافته است. این واژه در عربی به معنای شکسته‌بندی و جُبران است، اما خوارزمی آن را بر عمل افزودن جمله‌های مساوی بر دو سوی یک معادله، برای حذف جمله‌هـای منفـی، اطلاق مـی‌کند. واژۀ مقـابلـه ــ کـه آن هم در عنوان کتاب خوارزمی دیده می‌شود ــ به معنای حذف مقادیر مساوی از دو طرف معادله است (مثلاً در این عبارت «فاِذا جبرتَ و قابلتَ...»، خوارزمی، محمدبن موسیٰ، 40). نویسندگان آثار دائرة المعارفی، از جمله محمد بن احمد خوارزمی (د387ق/ 997م) (ص200)، فخرالدین رازی (د606 ق/1209م) (ص393)، ابن اکفانی (ص 90)، طاش‌کوپری‌زاده (1/327) و حاجی خلیفه (1/579) و غالب جبردانان پس از خوارزمی، از جمله کَرَجی (سدۀ 4ق/10م)، این واژه را به همین معنی به کار برده‌اند (بلوستا، 74).
ابوکامل (نیمۀ دوم سدۀ 3ق/9م) نیز مشتقات واژۀ جبر را به همین معنی به کار می‌برد. مثلاً برای حل معادلۀ 80=x20-100 می‌گوید: «100 درهم را با 20 شیء جبر کن و آن را با 80 جمع کن (فاجبر المائة درهم بالعشرین شیء وزدها بالثمانین)» تا به صورت 100=80+x20 درآید ( الجبر...، 49-50 ، جم‌ ، «طرائف...»، 69: «فیجبَر فیقابَل»).
ابوریحان بیرونی در التفهیم، عمل جبر را به افزودن مقادیر مساوی به دو کفۀ ترازو برای حفظ تعادل آن تشبیه می‌کند (متن عربی، ص 37، متن فارسی، ص 48-49) و در این تمثیل، بی‌آنکه به آن تصریح کند، به اصولِ

a = b a + c = b + c
و
a = b a - c = b - c
از اصول متعارف کتاب اصول اقلیدس (نک‌ : هیث، I/223) استناد می‌جوید. نصیر الدین طوسی (د 672 ق/1273م) (جبر...، 19-20) و غیاث الدین جمشید کاشانی (د 832 ق/1429م) (ص 189-190) و ابن غازی مکناسی (د 919ق) (ص 228) نیز جبر و مقابله را به همین صورت تعریف کرده‌اند. با این حال، ابن بنّا (ه‌ م)، هرچند در کتاب خود بخشی را به جبر و مقابله به معنای متعارف آن اختصاص داده، در جای دیگری واژۀ جبر را «اصلاح» معنی می‌کند و آن را به معنی تقسیم مقدار ثابت به ضریب مجهول در معادلۀ می‌داند (ص 56؛ نیز نک‌ : قَلَصادی، 151-152). این کاربرد نیز هرچند با معنی متعارف جبر متفاوت است، به نحوی با ریشۀ لغوی این کلمه ارتباط دارد. با این حال، شارح اثر ابن بنا، قلصادی، جبر را به همان معنای اصطلاحی به کار برده است (ص 247). به این دلیلها، نظر صلیبا1 (نک‌ : سراسر مقاله) که این واژه را مشتق از جَبَرَ به معنای «مجبور کرد» و «ناگزیر کرد» می‌داند و غرض خوارزمی را از آن «بیرون کشیدن» ریشۀ یک معادله می‌شمارد، پذیرفتنی نمی‌نماید.
پیشینۀ علم جبر: مسائلی که یافتن مقدار مجهول در آنها به حل معادلات جبری از درجۀ اول و دوم، و گاه از درجات بالاتر و حتیٰ به حل دستگاهی از معادلات، منجر می شود، از گذشتۀ بسیار دور در تمدنهای گوناگون شناخته بوده است و برخی از مورخان ریشۀ این مسائل را به دورانهای پیش از تاریخ می‌رسانند (وان در وردن2، سراسر کتاب). مصریان باستان با دستورِ (الگوریتمِ) حل معادلات درجۀ اول آشنا بودند و بابلیها، از حدود سال 1700ق‌م، نه تنها راه حل معادلات درجۀ اول و دوم را می‌شناختند (نویگباور، 40-42)، بلکه برخی از معادلات از درجات بالاتر، و حتیٰ حالات خاصی از معادلات درجۀ هشتم، را حل می‌کردند (همو، 48). با این حال، آنچه از این تمدنها به دست ما رسیده، فقط مجموعه‌هایی از مسائل عددی است. راه حلها، هرچند در مورد معادلات درجۀ اول و دوم کلیت دارند، در مورد مسائل عددی خاص بیان می‌شوند و معلوم نیست به چه طریق به دست آمده‌اند و در مسائلی که درجۀ آنها از دو بیشتر است، دستورهای حل معادلات تنها در مورد مسائل خاص کاربرد دارند.
از عصر زرین ریاضیات یونانی (سده‌های 5-3ق‌م)، هیچ اثری در زمینۀ جبر به دست ما نرسیده است و می‌توان گفت كه اين علم در دوران يونانی شناخته نبوده است. علاقۀ ریاضی‌دانان یونانی به برهان دقیق، و نیز کشف کمیات ناهمسنجه3 توجه ایشان را یکسره به هندسه معطوف کرده بوده است. نظريات فلسفی يونانيان دربارۀ تقسيم‌بندی كميات را می‌توان يكی ديگر از عواملی دانست كه راه را بر پيدايش علم جبر می‌بست. در فلسفۀ یونانی، به صورتی که در آثار ارسطو آمده است و تأثیر آن در آثار ریاضی‌دانان یونانی چون اقلیدس و ارشمیدس و آپولونیوس دیده می‌شود، کمیتها به دو دستۀ کاملاً متمایز تقسیم می‌شوند: 1. اعداد، که منظور از آن اعداد طبیعی است؛ 2. مقادیر، که کمیات هندسی (طول و سطح و حجم) و زمان‌اند. در این تقسیم‌بندی مفهوم کلی «عدد حقیقی» (شامل اعداد گویا و گنگ) وجود ندارد، اعداد گویا (کسرها) به صورت «نسبت»هایی میان اعداد طبیعی تعریف می‌گردند و موجوداتی که امروزه عدد گُنگ نامیده می‌شوند، با پاره‌خط، و نسبت میان آنها با نسبت میان پاره‌خطها، نمایش داده می‌شود. با این حال، وجود برخی روشها در کتاب مخروطات آپولونیوس (سدۀ 3ق‌م) و برخی از قضایا در مقالات دوم و ششم و دهم کتاب اصول اقلیدس (تألیف: ح 300ق‌م) گروهی از مورخان را معتقد کرده است که یونانیان از نوعی جبر هندسی استفاده می‌کرده‌اند. اصطلاح «جبر هندسی» را نخستین بار ریاضی‌دان دانمارکی زویتِن در کتاب خود به نام «نظریۀ مقاطع مخروطی در دوران باستان4» ابداع کرده است. زویتن دریافت که در کتاب مخروطات آپولونیوس، خواص اصلی مقاطع مخروطی از راه عملیاتی بر روی پاره‌خطها از یک سو، و سطوح از سوی دیگر، بیان شده است که همان خواص جمعی و ضربی را دارند که امروزه در کتابهای جبر آموخته می‌شود (وان در وردن، 75).
هواداران نظریۀ جبر هندسی معتقدند که برخی از قضایای کتاب اصول اقلیدس بیان هندسی پاره‌ای از روابط و اتحادهای جبری است و برخی از ترسیمهای این کتاب در واقع صورت مبدل معادلات جبری‌اند (اونگارو، 389). مثلاً اگر در قضیۀ اول از مقالۀ دوم اصول (نک‌ : هیث، I/375)، پاره‌خطها را با a و b و c و... نمایش دهیم، این قضیه خاصیت پخش‌پذیری جمع نسبت به ضرب، یعنی رابطۀ a (b+c+...) = ab+ac+... را بیان می‌کند. همچنین اگر در قضیۀ چهارم از مقالۀ دوم اصول (همو، I/379) طول دو پاره‌خط را با نمادهای a و b نمایش دهیم، این قضیه با اتحاد جبری (a+b)2 = a2+b2+2ab معادل است. همچنین برخی از ترسیمات هندسی مقالۀ ششم کتاب اصول (همو، II/257-367) نیز، هرگاه به زبان نشانه‌های جبری ترجمه شوند، به حل معادلاتی از درجۀ یک و دو منجر می‌شوند. اما چنین تعبیری مستلزم اعتقاد به آن است که هر طولی را می‌توان با عددی نمایش داد، در حالی که در سنت یونانی هرچند هر عددی را با طولی نمایش می‌دادند، معتقد نبودند که عکس این عمل هم مجاز است و در برابر هر طولی هم عددی وجود دارد. به اين دليل است كه اقليدس اين مسئله را از راه هندسی محض حل می‌كند.
به همین دلیل، چه در اصول اقلیدس و چه در مخروطات آپولونیوس، مساحت مستطیل هیچ گاه به صورت حاصل ضرب اضلاع آن نشان داده نمی‌شود، بلکه مساحت هر شکل با مساحتی دیگر سنجیده می‌شود. از این رو، هرچند آپولونیوس، در مخروطات، خواص مقاطع مخروطی را از طریق مفهومی به نام نشانه1بررسی می‌کند که به مفهوم امروزی معادلۀ مقطع مخروطی بسیار نزدیک است، با این حال، وی همواره نشانه را به صورت برابری دو سطح بیان می‌کند. بنا بر این، تعبیر جبری قضایای فوق توجیهی ندارد. همچنین است مقالۀ دهم اصول، که بسیاری از قضایای پیچیدۀ آن، به زبان جبری، معادل با گویا کردن اعداد گُنگ است. با این حال، مسئلۀ جبر هندسی یونانی و به‌ویژه تعبیر مقالات «جبری» کتاب اصول اقلیدس، در میان مورخان ریاضیات همچنان مورد بحث است. گروهی از مورخان رياضيات مانند هيث و نويگباور و وان در وردن به وجود جبر هندسی يونانی باور دارند و حتیٰ مانند آندره وِی، رياضی‌دان بزرگ فرانسوی (1906-1988م/1285-1367ش)، معتقدند كه محتوای مقالات هفتم و هشتم و نهم اصول، «عمدتاً چيزی جز جبر (جبرِ حلقۀ اعداد صحيح) نيست» (وی، 448). گروهی ديگر كه بيشترشان به نسل جديدتری از مورخان رياضی‌ تعلق دارند، كاربرد اين اصطلاح و حتیٰ سخن گفتن از وجود جبر در دورۀ يونانی را روا نمی‌دانند.
در این میان یک استثناء مهم وجود دارد و آن الحساب دیوفانتوس اسکندرانی است (نک‌ : مل‌ ). موضوع این کتاب که تاریخ دقیق تألیفش معلوم نیست، اما احتمالاً در سدۀ 3م تألیف شده (هیث، II/448)، «لوژیستیک2یا شاخۀ محاسباتی حساب است که در حل مسائل عملی از آن استفاده می‌شود» («زندگی‌نامه...3، IV/111). در ریاضیات یونانی، «لوژیستیک» که مجموعه‌ای از فنون محاسبه بود، معمولاً در مقابل «فن حساب4 قرار می‌گرفت که دانشی بُرهانی محسوب می‌شد. الحساب در اصل در 7 مقاله بوده که اصل یونانی مقالات اول تا سوم و ترجمۀ عربی 4 مقالۀ دیگرِ آن در دست است (نک‌ : مآخذ، دیوفانتوس، صناعة الجبر، نیز مل‌ ، الحساب5).
این کتاب مجموعه‌ای است از مسائل معین (معادلات یک‌مجهولی، یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها به تعداد معادلات است)، و مسائل نامعین (سیال، یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها بیش از تعداد معادلات است). دیوفانتوس در تنظیم این معادلات ترتیب خاصی را رعایت نکرده است. وی در مورد هر معادله یا هر دستگاه از معادلات، راه حل را عرضه می‌کند و در مورد معادلات سیال جوابهای گویا را به دست می‌آورد و در این کار غالباً به تغییر هوشمندانۀ متغیرها و روشهای بدیع برای کاستن از درجۀ معادلات متوسل می‌شود («زندگی‌نامه»، همانجا). گذشته از این، دیوفانتوس نامهایی برای توانهای مختلف اعداد ابداع کرده است و نیز نخستین نشانه‌های مختصرنویسی در جبر (انتخاب برخی از حروف الفبای یونانی برای نمایش توانهای مجهول) در کار او دیده می‌شود. همچنین، دیوفانتوس دو عمل را تعریف می‌کند که برای ساده کردن معادلات انجام می‌گیرند (وان در وردن، 98). یکی از این دو عمل بعدها در کتاب خوارزمی «جبر» و دیگری «مقابله» نام می‌گیرد (EI2, II/361). با این حال، تفاوتهای میان اثر دیوفانتوس و خوارزمی به اندازه‌ای است که این دو کتاب را نمی‌توان متعلق به یک سنت دانست و اطلاق «جبر» بر محتوای اتر دیوفانتوس درست نیست (راشد، «خوارزمی...6»، 61-64).
خوارزمی و پیدایش علم جبر: نخستین اثر مستقل در جبر کتابی است از محمد بن موسیٰ خوارزمی که به المختصر فی الحساب الجبر والمقابلة معروف است (هرچند کلمۀ «المختصر» در عنوان آن دیده نمی‌شود) و چنان‌که در کتاب آمده، در زمان خلافت مأمون (بین سالهای 198-218ق/814-833 م)تألیف شده است (ص 15-16). با اینکه خوارزمی تصریح می‌کند (ص 16) که هدف او نوشتن کتابی است که در مسائل عملی مربوط به تقسیم میراث و مسّاحی و تجارت به کار آید ــ و بخشهایی از کتاب نیز به این گونه مسائل اختصاص دارد ــ اهمیت این کتاب عمدتاً در ارزش نظری آن است؛ زیرا در این کتاب است که جبر ــ به صورت علمی مستقل با واژگان و مفاهیم و روشهای خاصی که آن را از حساب، به معنای چهار عمل اصلی و اعمالی چون جذرگيری از اعداد صحيح و مثبت، و هندسه متمایز می‌کنند ــ متولد می‌شود. این امر از روشی كه خوارزمی در معرفی موجودات جبری به كار می‌برد پیدا ست.
خوارزمی از روی قیاس با اعداد يك‌رقمی و دو‌رقمی در دستگاه دهگانی، موجوداتی را که در علم جبر به کار می‌رود، تعریف می‌کند. این موجودات عبارت‌اند از «شیء» (مقدار مجهول یا x) که به قیاس با ضریب بخش دهگانی (ضریب 10) در یک عدد دورقمی ساخته می‌شود؛ «مال» (توان دوم مقدار مجهول یا x2) که به قیاس بخش صدگانی (ضریب 102) در یک عدد صدگانی ساخته می‌شود، و عدد یا «درهم» (مقدار معلوم)، که متناظر است با ارقام 1 تا 9 در سلسلۀ اعداد دهگانی. به این ترتیب، موجودات جبری شکل تعمیم‌یافته‌ای از اعداد حسابی به نظر می‌آیند. سپس خوارزمی به تقسیم‌بندی معادلاتی می‌پردازد که از ترکیبهای مختلف این موجودات با یکدیگر حاصل می‌شود. به این طریق 6 دسته معادله، از درجات اول و دوم، به دست می‌آید (همۀ اين اعمال به صورت لفظی بيان می‌شوند، نک‌ : ه‌ د، خوارزمی، محمدبن موسیٰ):
1) ax = b 2) = a2x 3) = ax2x
4) + ax = b2x 5) = ax + b2x 6) + a = bx2x
ضریبهای a وb همواره اکیداً مثبت (مثبت و مخالف صفر)‌اند. در نمونه‌هایی که خوارزمی ذکر می‌کند، همۀ ضرایب اعداد صحیح‌اند، اما چنان‌که خواهیم دید، جانشینان او معادلاتی با ضرایب کسری و حتیٰ گُنگ را هم درنظر می‌گیرند.
این 6 معادله، در واقع تمامیِ حالات معادلات درجۀ اول و دوم را، به شرط مثبت بودن ضرایب، نشان می‌دهند. چنانچه معادله‌ای به غیر از یکی از این 6 صورت داده شده باشد، آن را با یکی از دو عمل «جبر» یا «مقابله»، یا با هردو عمل، به یکی از این 6 صورت نرمال تبدیل می‌کنیم. همچنین هرگاه ضریب 2x عددی مخالف یک باشد، با تقسیم طرفین معادله به این عدد، معادله به صورت نرمال درمی‌آید.
از این معـادلات یکـی (شم‌ 1) از درجۀ اول و یکی دیگر
(شم‌ 3) قابل تبدیل به معادلۀ درجۀ اول است و حل معادلۀ شمارۀ 2 به استخراج جذر یک عدد منجر می‌شود. در مورد 3 معادلۀ دیگر، خوارزمی دستورِ (الگوریتمِ) کلیِ حل معادله را به دست می‌دهد، منتها در مورد هر معادله این الگوریتم را با استفاده از یک مثال که آن را «باب» (الگو) می‌نامد، به کار می‌برد. به عنوان مثال، ريشۀ معادلۀ شمارۀ 4 از رابطۀ به دست می‌آيد. این معادله همواره یک جواب مثبت دارد. در مورد معادلات شمارۀ 5 و شمارۀ 6 روش خوارزمی اساساً یکسان است، جز اینکه در مورد معادلۀ + a = bx2x قید می‌کند که معادله ممکن است دو جواب مثبت داشته باشد، یا جواب نداشته باشد.
جبر دوجمله‌ایها: بخش دیگری از کتاب خوارزمی که کمتر مورد توجه قرار گرفته، و با این حال، از لحاظ تحولِ علم جبر بسیار حائز اهمیت است، بخشی است که به بیان 3 عمل اصلیِ جمع، تفریق و ضرب بر روی دو جمله‌ایها اختصاص دارد (ص 27-30). خوارزمی ابتدا به بیان قواعدی در مورد جمع و تفریق یک‌جمله‌ایها می‌پردازد. برای بیان قواعد ضربِ دوجمله‌ایها، وی هر دوجمله‌ای را به صورت یک عدد دورقمی در مبنای x در نظر می‌گیرد، و آنگاه قواعد ضرب دو عدد دورقمی در مبنای 10 را دربارۀ این عدد دورقمی در مبنای به کار می‌برد (نک‌ : ه‌ د، خوارزمی، محمدبن موسیٰ). این بخش از کار خوارزمی بعدها به دست کَرَجی و ریاضی‌دانان مکتب او توسعه یافت.
بدین ترتیب، بر خلاف ریاضیات بابلی و «جبر هندسی» یونانی ــ که برای حل چند حالت خاص به «انواع اندیشه‌های بدیع» متوسل می‌شدند ــ در کتاب جبر و مقابلۀ خوارزمی، همۀ انواع معادلات به «چند نوع استاندارد تحویل می‌شود که به کمک چند قاعده قابل حل‌اند» (گاندز، 542). پیش از خوارزمی، استخراج مجهول از راه عملیات حسابی بر روی داده‌های عددی مسئله انجام می‌گرفت. خوارزمی با معرفی دوجمله‌ایهای جبری و عملیات بر روی آنها در واقع موجودات ریاضی جدیدی را معرفی می‌کند که عدد نیستند، اما از روی الگوی اعداد ساخته می‌شوند. البته خوارزمی این موجودات را به صورت دقیق تعریف نمی‌کند. «بدین طریق، جبر در آغاز، به صورت نوعی حساب ظاهر می‌شود کـه هم از لـوژیستیک کلی‌تر است ــ زیرا به کمک جبر می‌توان مسائل لوژیستیک را دقیق‌تر حل کرد ــ و هم از «هندسۀ متریک» (راشد، «جبر1»، 34). این کار خوارزمی سرآغاز فرایندی است که رشدی راشد آن را «حسابیدن جبر» می‌نامد (نک‌ : «میان...2»، 29) بدین معنی که این علم به صورت نوعی حسابِ تعمیم‌یافته و کلی ظاهر می‌شود که قواعد خود را از روی قواعد حساب می‌سازد. این کار بعدها در مکتب کرجی به اوج خود می‌رسد. از سوی دیگر، از همان کتاب خوارزمی، کوششی برای آنکه این قواعد به کمک ترسیمات هندسی بُرهانی شوند، دیده می‌شود.توجیه هندسی الگوریتمها: بخشی از کتاب خوارزمی به توجیه هندسی دستورهای حل معادلات شمارۀ 4 تا شمارۀ 6 اختصاص دارد. این کار ــ هرچند آن را نمی‌توان اثبات به معنای متعارف نامید ــ به هر حال، کوششی است برای آنکه الگوریتم از راه رسمِ یک شکل هندسی تأیید شود. خوارزمی این شکلها را «علتی» می‌نامد که «دلیل نصف کردنِ ]ضریب مجهول[ را بیان می‌کند» (نک‌ : ه‌ د، خوارزمی، محمدبن موسیٰ).
جبر از خوارزمی تا کرجی: اهمیت کتاب جبر و مقابلۀ خوارزمی، به رغم حجم کم و سادگیِ ظاهریِ مطالبِ آن، اندکی پس از دوران زندگی خوارزمی شناخته شد. نشانۀ این توجه، آثاری است که در سده‌های 3-4ق/9-10م، در این موضوع نوشته شده که هر چند بسیاری از آنها از میان رفته، اما برخی از آنهاکه به دست ما رسیده است، بر تأثیر خوارزمی و کتاب او گواهی می‌دهند. پاره‌ای از این آثارِ ازدست‌رفته عنوان «الجبر و المقابله» دارند، مانند الجبر والمقابلۀ ابوحنیفۀ دینوری (د 290ق/903م) (ابن ندیم، 86؛ حاجی خلیفه، 2/1407) و نیز کتاب احمد بن طیب سرخسی (د 286ق/899 م) (همانجا). برخی دیگر شرح بر جبر و مقابلۀ خوارزمی‌اند، مانند شرح الجبر والمقابلة للخوارزمی از سنان بن فتح (ابن ندیم، 339-340). در واقع از سنان بن فتح رساله‌ای در جبر، به نام کتاب فیه الکعب والمال والاعداد المتناسبة، باقی مانده است (راشد، «جبر»، 31، حاشیۀ 4)، اما معلوم نیست که این رساله همان شرح کتاب خوارزمی باشد. در این رساله معادلاتی که شامل جمله‌های axn+2p و bxn+p و cxn هستند، به معادلات درجۀ دوم تبدیل شده‌اند (انبوبا، 78-79). نیز شرح کتاب محمد بن موسی الخوارزمی فی الجبر از عبداللٰه بن حسین صیدنانی (ابن ندیم، 338)، و تفسیر کتاب الخوارزمی فی الجبر والمقابلة از ابوالوفا بوزجانی (همو، 341). غالب این آثار در همان سدۀ 3ق و اثر اخیر پیش از 377ق/987م ــ که سال تألیف نهایی الفهرست ابن ندیم است ــ نوشته شده‌اند.
در الفهرست ابن ندیم کتابی به نام الجبر والمقابله به سند بن علی، ریاضی‌دان معاصر خوارزمی، نسبت داده شده‌ است، اما چون ابن ندیم به سند بن علی کتابی هم به نام الحساب الهندی نسبت می‌دهد، این احتمال هست که در استنساخ کتاب الفهرست، زندگی‌نامۀ او با زندگی‌نامۀ خوارزمی، که در الفهرست درست پیش از سند بن علی آمده است، در‌هم‌ آمیخته شده، و برخی از آثار خوارزمی، به‌ویژه این دو اثر، جزء آثار سند بن علی آمده باشد (زوتر، 13-14؛ قربانی، زندگی‌نامه...، 274-275)، چیزی که این احتمال را تقویت می‌کند، این است که در نسخه‌های موجودِ الفهرست، هیچ یک از دو کتاب الحساب الهندی و الجبر والمقابله ــ که به گواهی منابع دیگر مسلماً از خوارزمی است ــ جزء آثار خوارزمی ذکر نشده است. سزگین به‌نقل از پل سبَث1، آورده که نسخه‌ای از کتاب سند بن علی در حلب موجود بوده است (GAS, V/243)؛ اما ممکن است این قول، مانند پاره‌ای دیگر از گفته‌های سبث، شتاب‌زده و بر پایۀ وارسی ناقص نسخه باشد. به هر حال، این نسخه اکنون ظاهراً موجود نیست.
از میان آثارِ جبریِ بازمانده، برخی که اندکی پس از زمان خوارزمی تألیف شده است، بر کوشش ریاضی‌دانان آن دوران برای تکمیل کار خوارزمی دلالت دارد. ریاضی‌دانی به نام عبد الحمید بن واسع بن ترک ختلی (یا جیلی، یا جبلی) رساله‌ای در جبر تألیف کرده بوده که تنها بخشی از آن که به اثبات هندسی الگوریتمها اختصاص دارد، به دست ما رسیده است (نک‌ : مل‌ ، صاییلی). در این بخش، ابن ترک برخی از براهین هندسی خوارزمی را دقیق‌تر کرده است و به‌ویژه دربارۀ وجود ریشه‌ها (یعنی ریشۀ مثبت برخی از «مقترنات») بحث کرده، و حالاتی را که معادله ریشۀ مثبت ندارد مشخص کرده است. به روایت حاجی خلیفه (2/1408) نوۀ ابن ترک به نام ابو برزه که او هم ریاضی‌دان بوده (ابن ندیم، 339)، مدعی فضل تقدم نیای خود بر خوارزمی در ابداع علم جبر بوده است، و ابوکامل شجاع بن اسلم، در مقدمۀ دو اثر خود، که ظاهراً اکنون از میان رفته‌اند، این ادعا را رد کرده است. آنچه احتمال تقدم ابن ترک را بر خوارزمی کاهش می‌دهد، این است که ابن ندیم (همانجا) ابوالفضل بن عبد الحمید بن واسع بن ترک ختلی را در زمرۀ «الحُسّاب واصحاب الاعداد المحدثون»، و پس از طبقۀ خوارزمی، ذکر می‌کند و بنا بر این، او را می‌توان متأخر بر خوارزمی دانست. با این حال، بلاذری (ه‌ م) (د 279ق/892 م) از او با عبارت «حدثنی عبد الحمید بن واسع الختلی الحاسب» روایت می‌کند ( فتوح...، 289). اما چون بلاذری از خوارزمی هم مستقیماً روایت می‌کند ( انساب...، 3/264-265)، می‌توان نتیجه گرفت که ابن ترک معاصر خوارزمی و احیاناً کمی از او جوان‌تر بوده است. ریاضی‌دانان دیگر، مانند سنان بن فتح نیز بر فضل تقدم خوارزمی گواهی داده‌اند (راشد، همان، 31).

کوشش برای تعبیر هندسی دقیق معادلات جبری درجۀ دوم در رسالۀ فی تصحیح مسائل الجبر بالبراهین الهندسیة اثر ثابت بن قرۀ حرّانی (نک‌ : مآخذ) به صورت جدی‌تری ادامه می‌یابد (نک‌ : ه‌ ‌د، ثابت بن قره؛ لوکی، 110-112؛ راشد، همان، 35). واژۀ تصحیح را در عنوان این رساله باید به معنای «اثبات صحت» یا اثبات گرفت و بنا بر این، هدف ثابت این است که نشان دهد الگوریتمهایی که خوارزمی برای حل معادلات درجۀ دوم به دست داده است، درست‌اند. برهانهای ثابت هندسی است و او برخلاف خوارزمی و ابن ترک که تعبیر خود را بر ترسیم اشکال هندسی استوار می‌کنند، مستقیماً از قضایای پنجم و ششم مقالۀ دوم اصول اقلیدس استفاده می‌کند و میان طولهایی که در این قضایا وارد می‌شوند و ضرایب معادلات تناظری مستقیم برقرار می‌سازد.
ابوکامل شجاع بن اَسلَم حاسب مصری که در نیمۀ دوم سدۀ 3ق/9م می‌زیسته (GAS, V/277-281؛ نیز نک‌ : ابن دایه، 128، 130، 140، که از ابوکامل روایت می‌کند)، گذشته از کتابی به نام کمال الجبر وتمامه والزیادة فی اصوله (حاجی خلیفه، 2/1407) که ظاهراً از میان رفته است، کتابی به نام الجبر والمقابله دارد که تنها یک نسخۀ خطی عربی و یک ترجمۀ عبری (نک‌ : مل‌ ، لوی) و یک ترجمۀ لاتینی از آن باقی مانده است. ابو کامل در مقدمۀ این کتاب، انگار كه می‌خواهد به ادعاهای ابو برزه جواب بدهد، خوارزمی را نخستین کسی می‌داند که در جبر و مقابله کتابی تألیف کرده است و اقرار به فضل تقدم او را وظیفۀ همۀ محاسبان می‌داند. کتاب ابوکامل در 3 بخش است:
بخش اول به بررسی همان معادلات خوارزمی اختصاص دارد، با این تفاوت که ابوکامل هر یک از معادلات را یک بار برای x و یک بار برای x2 حل می‌کند و در حل هر معادله، حالات ممکن و ممتنع (یعنی حالتی که معادله ریشۀ مثبت ندارد) و نیز حالتی را که معادله فقط یک ریشه (یعنی ریشۀ مضاعف) دارد، بر حسب مقدار ضرایب مشخص می‌کند. همچنین ابوکامل معادلاتی با ضرایب گنگ را هم در نظر می‌گیرد (هوخندایک، بش‌ ). او در اثباتهای هندسی خود صراحتاً از قضیۀ پنجم مقالۀ دوم اصول اقلیدس استفاده می‌کند و مانند خوارزمی، این قضیه را «علتِ» درستیِ الگوریتم مورد نظر می‌خواند ( الجبر، 10) و می‌نویسد: «ما علت این ]الگوریتمها[ را با قضایای هندسی بیان می‌کنیم تا هندسه‌دانانی که در کتاب اقلیدس نظر کرده‌اند، آن را دریابند» ( همان، 7).
بخش دوم کتاب ابوکامل مختص محاسبۀ جبری برخی از مقادیر هندسی، و از جمله ضلع پنج‌ضلعیِ و ده‌ضلعی و پانزده‌ضلعیِ محاط در دایره برحسب قطر آن است. روش هندسی ترسیم پنج‌ضلعی منتظم محاط در دایره در قضيۀ يازدهم از مقالۀ چهارم اصول اقلیدس بیان شده است (هيث، II/100-101)، اما ابو کامل مقدار عددی ضلع این چندضلعیها را به دست می‌آورد، بدین معنی که به دست آوردن ضلع چندضلعی را به حل یک معادلۀ درجۀ دوم تبدیل می‌کند. مثلاً به دست آوردن ضلع پنج‌ضلعی منتظم محاط در دایره‌ای به شعاع 10 به حل معادلۀ دومجذوری 2x125=3125+4x منجر می‌شود (همان، 134-135). ابوکامل با این کار نه تنها معادلات از توان 4 (ولی قابل تبدیل به معادلات درجۀ دوم) را درنظر می‌گیرد، بلکه ریشۀ این معادلات را هم که عموماً مقادیر گنگ است، به صورت عدد تلقی می‌کند. در واقع، ابوکامل میان دو سنت، که یکی محاسبۀ مقدار تقریبی مقادیر هندسی است، مانند محاسبۀ وتر زاویۀ یک درجه به صورتی که در کتاب مجسطی بطلمیوس1 (ص 48-56) دیده می‌شود، و دیگری ترسیم دقیق این مقادیر از راه هندسی، پلی می‌زند و در این کار، وی این مقادیر را ریشۀ یک معادلۀ جبری درجۀ دوم، یا معادلۀ دومجذوری، تلقی می‌کند.
در مقالۀ سوم، ابوکامل به حل چند معادلۀ سیال و چند دستگاه معادلات سیال می‌پردازد. در این فصل تأثیر الحساب دیوفانتوس، که در همان زمان به عربی ترجمه شده بوده، محسوس است. بر کتاب الجبر والمقابلۀ ابوکامل، علی‌بن محمدبن عمرانی (د 344ق/955م) شرحی نوشته بوده است (ابن ندیم، 341) که اکنون در دست نیست. از ابوکامل رساله‌ای نیز به نام «طرائف الحساب» (نک‌ : مآخذ) در دست است که موضوع آن حل معادلات سیال درجۀ اول به صورت ax+by+cz+...+pt = m است. ابوکامل، بر خلاف دیوفانتوس، تنها به جوابهای صحیح این معادلات توجه دارد، نه به جوابهای گویای آنها.

تأثیر زبان جبری خوارزمی در رسالۀ فی مساحة اشکال البسیطة والکریة بنی موسیٰ (راشد، «ریاضیات بی‌نهایت کوچک2»، III/137-158؛ نیز نک‌ : ه‌ د، بنی موسیٰ) نیز محسوس است. بنی موسیٰ در این اثر، بر خلاف سنت ریاضیات اقلیدسی و ارشمیدسی، مساحت یا حجم یک شکل را، نه بر حسب مساحتی دیگر، بلکه به صورت حاصل ضرب بیان می‌کنند (همان، 12/694)، و به بیان دیگر، مقادیر هندسی را به صورت عدد در نظر می‌گیرند. این امر اگر هم بر تأثیر مستقیم کتاب خوارزمی دلالت نکند، حاکی از تأثیر غیر مستقیم علم نوپای جبر در زبان ریاضی آن روز است. این تأثیر در ترجمۀ الحساب دیوفانتوس (نک‌ : مل‌ ) هم دیده می‌شود. این کتاب که بنا بر استدلال راشد (مقدمه بر...،16-22)، در حدود سال 250ق/864 م ــ و نه چنـان‌که تا کنون گمان برده‌اند، در اواخر سدۀ 3ق/9م ــ به دست قسطا بن لوقای بعلبکی به عربی ترجمه شده، و در ترجمه صناعة الجبر (نک‌ : مآخذ) نام گرفته است (ابن ابی اصیبعه، 1/244). گذشته از این، واژگان این ترجمه سخت تحت تأثیر واژگانِ جبری است (راشد، همان، 50). کتاب الحساب دیوفانتوس، «هرچند به مفهومی که خوارزمی در نظر دارد، کتاب جبر محسوب نمی‌شد، اما حاوی روشهایی مانند روشهای جایگزینی و حذف و تغییر متغیر است» که در محاسبات جبری بسیار به کار می‌آیند (همو، «جبر»، 38). از همین رو، مترجم این کتاب قسطا بن لوقا، بر 3 مقاله و نیم از آن (ابن ندیم، 353) و ابوالوفا بوزجانی ظاهراً بر تمامی آن شرح نوشته است (همو، 341). ابوالوفا در کتاب دیگری به نام البراهین علی القضایا التی استعمل ذیوفنطس فی کتابه وعلی ما استعمله هو فی التفسیر (همانجا) چنان‌که از عنوانش پیدا ست، برای قضایای الحساب دیوفانتوس و نیز قضایایی که خود او در شرح آن به کار برده بوده، اثباتهایی ارائه کرده بوده است.
کرجی و مکتب او: تأثیر آشنایی جبردانان اسلامی با الحساب دیوفانتوس در آثار کرجی (ه‌ ‌م)، ریاضی‌دان سدۀ 4ق/10م و مکتب او، به‌ویژه خلف او سموأل بن يحيیٰ مغربی (ه‌ ‌م)، دیده می‌شود. از میان دو شاخۀ جبر، کار کرجی بیشتر در حوزۀ تکمیل حساب جبری، یعنی عملیات بر روی عبارات جبری قرار می‌گیرد و به گفتۀ ووپکه «وی کامل‌ترین و در واقع تنها نظریۀ حساب جبری را که تا کنون در نزد عرب‌زبانها سراغ می‌توان گرفت، عرضه کرده است» (نک‌ : «مستخرج...1»، 4). هدف وی ــ که کما بیش به آن تصریح می‌کند ــ این است که علم جبر را به صورت علمی مستقل از هندسه مطرح کند و به‌ویژه گریبان خود را از دست نمایش هندسی عملیات جبری رها سازد (راشد، «میان»، 32؛ انبوبا، 44). از این جهت، کار او از یک سو ادامۀ سنتی است که خوارزمی با معرفی عملیات بر روی دوجمله‌ایهای جبری بنیاد نهاده بود و از سوی دیگر مبتنی بر امکاناتی است که بر اثر کشف و ترجمۀ الحساب دیوفانتوس، حاصل شده، و به دست ریاضی‌دانانی چون ابوالوفا بوزجانی گسترش یافته بود (راشد، همانجا). با تکیه بر این دو سنت، کرجی توفیق می‌یابد که نخستین نظریۀ جبر چندجمله‌ایها را به دست دهد.
کرجی در «الفخری»، نخست به بررسی توانهای جبری می‌پردازد و آنگاه، عملیات حسابی را در مورد جمله‌ها و عبارات جبری بیان می‌کند (ص 113-114). در مورد عملیات جبری بر روی چند‌جمله‌ایها، نخست قواعد ضرب و تقسیم یک‌جمله‌ایها را به دست می‌دهد و آنگاه به قواعد ضرب و تقسیم چند‌جمله‌ایها می‌پردازد. الگوی او برای چند‌جمله‌ای، یا به اصطلاح کرجی «کمیات مرکب»، یک عدد دهدهی با مقادیر اعشاری است. اما بر خلاف خوارزمی كه تنها دوجمله‌ايها را در نظر می‌گرفت، كرجی‌ چند‌جمله‌ای را به قياس يك عدد n رقمی در مبنای x تعريف می‌كند (ه‌ ‌د،‌ كرجی). در مورد ضرب چند‌جمله‌ایها، روش کرجی کاملاً کلی است، اما در مورد تقسیم چندجمله‌ایها وی تنها قواعد تقسیم یک‌جمله‌ای بر یک‌جمله‌ای و تقسیم چند‌جمله‌ای بر یک‌جمله‌ای را به دست می‌دهد. در مورد استخراج جذر، روش وی کلی است، اما به حالتی که ضرایب چند جمله‌ای مثبت باشند محدود می‌شود (راشد، همان، 31-32؛ نیز نک‌ : ه‌ ‌د، كرجی).
کرجی قواعد حساب را در مورد کمیتهای گنگ نیز به کار می‌برد. هدف او این است که نشان دهد که این قواعد وقتی در مورد کمیات گنگ (يا مقادير ناهمسنجه) به کار روند، ویژگیهای خود را حفظ می‌کنند (ه‌ ‌د، كرجی). در این مورد، کرجی بار دیگر به کتاب اصول اقلیدس متوسل می‌شود و تعریف خود را از عدد بر این تعریف مبتنی می‌سازد. همچنین مفاهیم ناهمسنجه و گنگ را بر اساس کتاب دهم اصول اقلیدس تعریف می‌کند. کرجی البته نمی‌تواند کاربرد این مفاهیم را در مورد اعداد توجیه کند. به نظر راشد، تنها توجیه، تصوری است که او از جبر داشته است: چون کمیات هندسی (طولها) و اعداد می‌توانند به‌یکسان مقدار مجهول یک معادلۀ جبری قرار گیرند، بنا بر این می‌توان قواعد حسابی یکسانی را دربارۀ آنها به کار برد (راشد، همان، 35-36).
به این طریق است که کرجی کار تعبیر جبری مطالب مقالۀ دهم اصول اقلیدس را که در نظر عموم ریاضی‌دانان یونانی یک مقالۀ هندسی محض بود، پیش می‌برد. پیش از او در حدود نیمۀ سدۀ 3ق/9م، ماهانی، تعبیری عددی از کمیتهای گویا و گنگ مقالۀ دهم به دست داده بود (بن میلاد، «کمیات...2»، 28، نیز «شرحها...3»، سراسر مقاله). وی تعریفی از کمیات گنگ و به همراه آن، نخستین طبقه‌بندی کمیاتی را که به کمک رادیکال ساختنی‌اند، به دست می‌دهد. این کمیات به گویا و گنگ تقسیم می‌شوند و وجه مشترک هر دو این است که می‌توانند جواب معادلات خوارزمی باشند. پس از آن نیز چند ریاضی‌دان از نظریۀ جبری معادلات درجۀ دوم برای ترجمۀ برخی از قضایای مقالۀ دهم اصول به زبان جبری استفاده کردند (همو، «کمیات»، سراسر مقاله). از نظر کرجی، مفاهیمی که در این مقاله آمده است، با کمیات به طور کلی سر و کار دارند و بنا بر این، در حوزۀ علم جبر قرار می‌گیرند (راشد، «میان»، 36). کرجی به کمیات گویا و گنگ به چشم متغیرهای نامعین نگاه می‌کند و مقادیر خاص آنها تحت الشعاع عملیاتی واقع می‌شود که بر روی این کمیات انجام می‌گیرد و «کمیات گویا و گنگ، دیگر به کمک پاره‌خطها معرفی نمی‌شوند و برای اولین بار منزلتی صرفاً عددی پیدا می‌کنند. به این دلیل است که کرجی بارها از العدد المُنطق (عدد گویا) و العدد الاَصم (عدد گنگ) سخن می‌گوید» (بن میلاد، همان، 50-51).
به این طریق، کرجی موفق می‌شود که دستورهایی جبری برای گویا کردن کمیات گنگ به دست دهد. وی این کار را نخست دربارۀ تک‌جمله‌ایها انجام می‌دهد؛ و نيز قواعدی برای گويا كردن برخی از كميتهای گنگ پيچيده به دست می‌آورد (راشد، همان، 36-37؛ ه‌ د،‌ كرجی).

بر پایۀ کار کرجی، سموأل بن یحیى مغربی (د ح 570 ق/ 1174م)، در الباهر، نخستین روش کلی برای عملیات روی چندجمله‌ایها را به دست می‌دهد. کار او همچنان بر اساس شباهت میان ساختار چندجمله‌ایهای جبری و اعداد دهگانی است. وی اين كار را به شيوه‌ای‌ بديع و با استفاده از جدولها انجام می‌دهد (نک‌ : ه‌ د، سموأل).
خیام و نظریۀ معادلات درجۀ سوم: اگر آثار کرجی و مکتب او را اوج جریان حسابیدن جبر به شمار بیاوریم، آثار جبری خیام را می‌توان نقطۀ اوج جریان هندسی کردن جبر در جهان اسلام دانست. موضوع دو رساله‌ای كه در جبر از خيام برجا مانده، طبقه‌بندی معادلات درجۀ سوم و حل هندسی
آنها ست.
ریاضی‌دانان یونانی دریافته بودند که برخی از مسائل هندسی كه با خط‌كش و پرگار حل نمی‌شوند، با استفاده از مقاطع مخروطی قابل حل‌اند. از آن جمله‌اند 3 مسئلۀ معروف و کلاسیک «تضعیف مکعب»، «تربیع دائره» و «تثلیث زاویه»
(ه‌ م‌م) (کنور1، سراسر کتاب‌). مثلاً مسئلۀ تضعیف مکعب را می‌توان از راه تحليل (نک‌ : ه‌ د، تحليل و تركيب)، به «درج دو واسطه میان دو مقدار معلوم» تبدیل کرد و اين مسئله به یافتن نقاط تقاطع یک سهمی و یک هذلولیِ معلوم منجر می‌شود. این نحوۀ بیان نباید ما را در مورد روش یونانیان به اشتباه بیندازد. مسئلۀ تضعیف مکعب برای ایشان یک مسئلۀ هندسیِ صِرف بود که به یک مسئلۀ هندسی دیگر، و آن نیز به یافتن نقـاط تقـاطع یک سهمی و یک هذلولـی ــ کـه مسئلـۀ هندسی سومی بود ــ تحلیل می‌شد، بی آنکه ریاضی‌دانان یونانی در هیچ یک از مراحل تحلیل از مفاهیم جبری‌ای چون معادله استفاده کنند.
در دوران اسلامی، ریاضی‌دانانی در صدد برآمدند تا این‌گونه مسائل هندسی یونانی، و نیز برخی از مسائل حسابی یا هندسی را که ضمن پژوهشهای خود ایشان پیش می‌آمد، به زبان معادلات ترجمه کنند. خیام این کار را «استعمال واژگان اهل جبر در این‌گونه مسائل» می‌نامد (ص 247). خود او در رسالۀ «تقسیم ربع دائره» این روش را به کار می‌برد و یک مسئلۀ هندسی را به حل معادلۀ
x3+ 200x = 20x2+ 2000
تبدیل می‌کند که معادله‌ای است از درجۀ سوم.
پیش از او ماهانی (د ح 275ق/888 م؛ قربانی، زندگی‌نامه، 431)، در کوشش برای حل مسئلۀ ارشمیدس (تقاطع دادن یک کره با یک صفحه به طوری که نسبت میان حجمهای دو قسمتِ حاصل عدد معینی باشد)‌ به یکی از این نوع معادلات رسیده بود. ماهانی مسئلۀ ارشمیدس را به معادله‌ای به صورت + b2= ax3x تبدیل کرد و چون از حل آن عاجز ماند، به ممتنع بودن مسئله حکم کرد (خیام، 267). پس از آن، ابوجعفر خازن (ه‌ ‌م) راه حل این معادله را پیدا کرد. ابونصر منصور بن عراق (ه‌ ‌م) نیز مسئلۀ ترسیم ضلع هفت‌ضلعی منتظم را «با استفاده از واژگان جبری» به حل معادلۀ = b2+ ax3x تبدیل، و این معادله را با کاربرد مقاطع مخروطی حل کرد. همچنین به نوشتۀ خیام، ابو سهل کوهی و ابوالوفا بوزجانی و ابو حامد صاغانی و برخی ریاضی‌دانان دیگر که در دربار عضد الدولۀ دیلمی بودند، دستگاه معادلاتِ را از راه تحلیل، به معادلۀ 2+ ax + b = cx3x تبدیل کردند که سرانجام ابو الجود بن لیث آن را حل کرد (همو، 268).
پس از خیام نیز ریاضی‌دانان دیگری در حل حالات خاصی از معادلات درجۀ سوم کوشیده‌اند. از جمله ریاضی‌دانی به نام سُلَمی (سدۀ 6 ق/12م) در کتاب خود به نام المقدمة الکافیة فی حساب الجبر والمقابلة دو نوع معادلۀ درجۀ سوم را در حالت خاص حل کرده، و پاسخ آنها را به کمک رادیکالها به دست آورده است (راشد، «جبر»، 40). ابن بنا نیز در فی الجبر والمقابلة معادلۀ درجۀ سومی را از راه تغییر متغیر حل کرده است. نیازهای منجمان نیز در پیدایش برخی از معادلات درجۀ سوم مؤثر بود. مثلاً بیرونی، برای تشکیل جدول سینوسها، معادلات 1+x3=3x و x3=1+3x را تشکیل می‌دهد و آنها را از راه آزمون و خطا حل می‌کند (راشد، همان، 54).
بدین ترتیب، با پیدایش علم جبر، مسائلی که پیش از آن مستقیماً از راه جست‌وجوی مقاطع مخروطی مناسب و تقاطع آنها حل می‌شد (و نیز برخی دیگر از مسائل هندسی که حل آنها با استفاده از روشهایی چون میل2 صورت می‌گرفت)، دیگر، نخست به زبان معادلات ترجمه می‌شد و سپس با کاوش در این معادلات کوشش می‌شد که یک راه هندسی برای حل آنها یافت شود. با این حال، این کوششها، چنان‌که خیام گفته است، تنها به معادلات خاصی، آن هم با ضریب عددی خاص منجر می‌شد.

کار خیام نقطۀ تلاقی این کوششها و کار خوارزمی است، اما وی به جای سعی در حل معادلات خاص، همۀ معادلات درجۀ سوم و کمتر از آن را با در نظر گرفتن کلیۀ ترکیبهای ممکن x (که وی آن را گاهی شیء و گاهی جذر و گاهی ضلع می‌نامد) و 2x و 3x (که وی آن را «مکعب» می‌نامد) طبقه‌بندی و حل می‌کند. طبقه‌بندی خیام در «تقسیم ربع دایره»، بر حسب درجۀ معادلات است. اما در رسالۀ جبر و مقابله، طبقه‌بندی دیگری به دست می‌دهد که بر اساس شمار جمله‌های هر معادله است. به این طریق، 3 دسته معادله به دست می‌آید:
1. معادلات 2 ‌جمله‌ای (مُفردات) که شامل یک معادلۀ درجۀ اول، یک معادلۀ درجۀ دوم و 3 معادلۀ درجۀ سوم است. از 3 معادلۀ اخیر، یکی به معادلۀ درجۀ اول و دیگری به معادلۀ درجۀ دوم قابل تبدیل است؛ و معادلۀ سوم همان مسئلۀ تضعیف مکعب است.
2. معادلات 3 جمله‌ای (مقترنات 3 جمله‌ای) که شامل 3 معادلۀ 3 جمله‌ای خوارزمی و 3 معادلۀ درجۀ سوم است که به معادلات درجۀ دوم تبدیل می‌شوند.
3. بقیۀ معادلات که خیام آنها را به این صورت تقسیم‌بندی می‌کند:
1. مقترنات 3 تایی شامل 3 معادلۀ 3 جمله‌ای از درجۀ سوم.
2. مقترنات 4 جمله‌ای که آن هم شامل 2 دسته می‌شود: دستۀ اول معادلاتی است که در یک سمت آن یک جمله و در سمت دیگر 3 جمله وجود دارد؛ دستۀ دوم از معادلات 4 جمله‌ای معادلاتی است که در هر طرف آنها 2 جمله وجود دارد. این 2 دسته همۀ توانهای مجهول را شامل می‌شوند.
به این طریق 25 نوع (صنف) معادله به دست می‌آید که حل 14 نوع از آنها تنها با استفاده از مقاطع مخروطی ممکن است.
روش خیام در حل معادلات درجۀ سوم: جبر از نظر خیام علمی برهانی است، و علم برهانی، در آن زمان، علمی بود که چون هندسه بر مقدمات درست استوار باشد و از قواعد منطقی در استنتاج استفاده کند. از این نظر، خیام نه تنها معادلات درجۀ سوم را به روش هندسی حل می‌کند، بلکه برای معادلات درجۀ اول و دوم نیز راه حلهایی هندسی به دست می‌دهد که بر قضایایی از اصول اقلیدس مبتنی است. در حل معادلات درجۀ سوم نیز او از چند قضیۀ اصول و معطیات اقلیدس و دو مقالۀ اولِ مخروطات آپولونیوس استفاده می‌کند.
تعبیر هندسی معادلات جبری سبب می‌شود که خیام مقادیر مجهول را به صورت طولهای هندسی در نظر بگیرد. به این دلیل، خیام در تعبیر توانهای xn به ازای 4 n ≥ با دشواری مواجه می‌شود و تصریح می‌کند که این گونه عبارات در مورد مقادیر (یعنی کمیتهای هندسی) «موهوم»اند و تنها در مورد اعداد معنی دارند.
از این رو خیام، بر خلاف جبردانانِ مکتب کرجی که آزادانه عملیات جبری را بر روی همۀ توانهای مجهول انجام می‌دادند بی آنکه تصریح کنند که مقدار مجهول عدد یا مقدار یا کمیت دیگری است، عمل ضرب را در مورد کمیات متصل تا وقتی جایز می‌داند که توان مجهول (و در واقع همۀ توانهایی که در معادله وارد می‌شوند) از 3 تجاوز نکند. به این دلیل، تنها معادلات تا درجۀ 3 را در نظر می‌گیرد.
خیام هر معادلۀ درجۀ سوم را در مراحل معینی حل می‌کند. ما این مراحل را در مورد معادلۀ + bx = c3x شرح می‌دهیم.
مرحلۀ اول ـ همگن کردن معادله: چنان‌که گفتیم، برای آنکه معادله معنای هندسی داشته باشد، باید همه جملات آن از یک درجه باشند. در حل این معادله، خیام فرض می‌کند که AB ضلع مکعبی به مساحت b باشد. در این صورت، بنا بر یکی از قضایای کمکی که خیام اثبات کرده است، می‌توان مستطیلی به ضلع BC بنا کرد، به طوری که .BC = c2AB. بنا بر این معادله به صورتِ
x3+ AB2x = AB2. BC
درمی‌آید.
مرحلۀ دوم ـ انتخاب منحنیها: با ضرب طرفین معادله در x خواهیم داشت:

طرفین این رابطه را مساوی با 2x می‌گیریم. خواهیم داشت:
2= BCx-x2y(2) (1)
رابطۀ (1) معادلۀ سهمی‌ای است به رأس محور مختصات و پارامتر (خیام در این مورد به مخروطات آپولونیوس ارجاع می‌دهد). رابطۀ (2) معادلۀ دایره‌ای است به مرکز و شعاع . خیام می‌گوید که چون این سهمی و دایره داده شده‌اند، بنابراین، نقطۀ تقاطع آنها که همان ریشۀ معادله است، نیز داده شده است (خیام، 25-27). به عبارت دیگر، وی به طور شهودی مسلّم می‌گیرد که این دو منحنی یکدیگر را قطع می‌کنند.
در مورد معادلات دیگر، روش خیام اصولاً یکسان است. منحنیهایی که وی از آنها استفاده می‌کند، عبارت‌اند از دایره و سهمی یا سهمی و هذلولی متساوی الساقین. با این حال خیام، چون همواره یک شاخۀ هذلولی متساوی الساقین را در نظر می‌گیرد، در حالاتی هم که معادله می‌تواند 3 ریشۀ مثبت داشته باشد، تنها یک ریشۀ مثبت آن را به دست می‌آورد.
شرف الدین طوسی و دنبالۀ کار خیام: تا این اواخر تصور می‌شد که رسالۀ جبر و مقابلۀ خیام نقطۀ اوج علم جبر در عالم اسلام است، اما با کشف رسالۀ «المعادلات» از شرف الدین طوسی (نک‌ : مآخذ)، ریاضی‌دان ایرانی سدۀ 6 ق/10م معلوم شد که پس از خیام نیز ریاضی‌دانانی برنامۀ او را ادامه داده‌اند (نک‌ : ه‌ ‌د، شرف الدین طوسی). برخلاف روش خیام ــ که جبری و کلی‌است ــ روش طوسی تحلیلی و موضعی است (راشد، «جبر»، 46). وی معادلات را بر حسب اینکه ریشۀ مثبت دارند یا ندارند، طبقه‌بندی می‌کند. به این ترتیب 8 معادله که همواره ریشۀ مثبت دارند و 5 معادله که «ممکن است حالات ناممکن داشته باشند» (یعنی ریشۀ مثبت نداشته باشند) به دست می‌آورد. در مورد معادلاتی که ریشۀ مثبت دارند، وی مانند خیام از دو مقطع مخروطی استفاده می‌کند و ریشۀ معادله را از راه تقاطع این مقاطع به دست می‌آورد و مانند خیام ریشه‌های منفی را نادیده می‌گیرد. خیام تنها به طور شهودی وجود ریشه را مفروض می‌گیرد، اما شرف الدین با استفاده از واژه‌های «درونی» و «بیرونی» در مورد دو مقطع مخروطی که در حل معادله به کار می‌رود، نشان می‌دهد که این ریشه وجود دارد (همان، 46-47).
در بخش دوم «المعادلات»، شرف الدین طوسی به بررسی معادلاتی که ممکن است ریشۀ مثبت نداشته باشند، می‌پردازد. وی برای بررسی این حالات، معادله را به صورت f (x) = c می‌نویسد، که در آن f (x) تابعی چندجمله‌ای از درجۀ سوم و c مقدار ثابت معادله است. به این ترتیب، بررسی وجود ریشۀ مثبت به بررسی نقاط تقاطع تابع y = f (x) و تابع ثابت y = c منتهی می‌شود. برای این کار، شرف الدین رفتار تابع y = f (x) را بررسی می‌کند تا مقدار بیشینۀ این تابع را، که وی آن را العدد الاعظم (بزرگ‌ترین عدد) می‌نامد، به دست آورد. وی نقطه‌ای به مختصات (y0 , x0) را که در آن تابع بیشینه می‌شود و نیز مقادیر f (x) = 0، یعنی نقاط برخورد منحنی نمایش تابع را با محور x، به دست ‌می‌آورد. با این کار، حدود ریشۀ معادلۀ اصلی معلوم می‌شود (ریشۀ معادلۀ f (x) =c بین ریشه‌های معادله f (x) = 0 است).
برای پیدا کردن مقدار بیشینۀ f (x)، شرف الدین معادلۀ
f ′ (x)=0 را حل می‌کند که در آن f ′ (x) مشتق f (x) است (وی توضیح نمی‌دهد که از چه طریقی به معادلۀ مشتق رسیده‌ است). مثلاً در مورد معادلۀ
x2+ c = ax3x
3- x2f (x) = ax و 2x3ax -2 f ′ (x) =. ریشه‌های معادلۀ اخیر عبارت‌اند از صفر و که به ترتیب مقدار کمینۀ صفر و مقدار بیشینۀ را به دست می‌دهند. از سوی دیگر، معادلۀ 0f (x)= دارای ریشۀ مضاعف و ریشۀ سادۀ = a2λ است.
شرف الدین نتیجه می‌گیرد که اگر c <c0، آنگاه معادلۀ
2+ c = ax3x دو ریشۀ مثبت 1x و 2x دارد که در بین ریشه‌های معادله f (x) = 0 و در دو سوی ریشۀ معادلۀ f ′ (x) = 0 قرار دارند. در مورد معادلات دیگر نیز نحوۀ استدلال وی به همین صورت است (راشد، همان، 47-48).
دستاورد مهم دیگر شرف الدین طوسی حل عددی معادلات درجۀ سوم است. وی روشی را که پیش از آن برای استخراج کعب (یعنی حل عددی معادلۀ = c3x) به کار می‌رفت، و امروزه به روش روفینی ـ هورنر1 معروف است، به معادلات درجۀ سوم چندجمله‌ای تعمیم می‌دهد و از راه تقریبهای متوالی ریشۀ تقریبی این نوع معادلات را به دست می‌آورد (همان، 50-52).
جبر پس از شرف الدین طوسی: آثار مکتب کرجی، خیام و شرف الدین طوسی اوج سنت جبری در عالم اسلام است. پس از ایشان، این علم پیشرفت چندانی در جهان اسلام نداشت. با این حال، از اشاراتی در بعضی از منابع معلوم می‌شود که برخی از ریاضی‌دانان کار شرف الدین طوسی را می‌شناخته‌اند (همان، 53-54). کوشش برای حل معادلات درجۀ سوم به کمک رادیکالها نمونه‌ای دیگر از زنده بودنِ سنت جبری است و نیز وجود آثاری چون مفتاح الحساب غیاث الدین جمشید کاشانی (اتمام تألیف: 830 ق/1427م) نشانۀ آشنایی عمیق مؤلف با سنت جبری کرجی است. قواعدی که وی برای جمع و تفریق چندجمله‌ایها (ص 190-191) و ضرب یک‌جمله‌ایها در یکدیگر و چندجمله‌ایها در یکدیگر (ص 191-194) و تقسیم چندجمله‌ایها بر یک جمله‌ایها (ص 194-195) به دست می‌دهد، همان قواعدی است که در آثار کرجی و سموأل دیده می‌شود. در مورد حل معادلات، غیاث الدین در مفتاح الحساب به 6 معادلۀ درجات اول و دوم اکتفا می‌کند. وی ظاهراً کار خیام را نمی‌شناخته است، چون می‌گوید که پیشینیان دربارۀ حل معادلات از درجات بالاتر از دو چیزی نگفته‌اند، جز شارح بهائیه (ابن خوّام) که گفته است که شرف الدین مسعودی جز این 6 دسته، 19 دسته معادلۀ دیگر را، از درجۀ سوم، حل کرده است (نک‌ : ص 198-199؛ قربانی، کاشانی نامه،112-113). پیدا ست که در مآخذ غیاث الدین، میان شرف الدین طوسی و شرف الدین مسعودی، فیلسوف و دانشمند سدۀ 6 ق/10م، خلط شده است. غیاث الدین مدعی است که شمار معادلات ممکن (یعنی معادلاتی با ضرایب مثبت) از درجۀ 4 n ≤ ، 95 است و می‌گوید که او خود راه حل 70 معادلۀ درجۀ چهار و نیز 19 معادله‌ای را که شرف الدین «مسعودی» حل کرده، به دست ‌آورده است، و وعده می‌دهد که در این باره کتاب جداگانه‌ای بنویسد. متأسفانه این کتاب غیاث الدین جمشید، اگر هم تألیف شده باشد، از میان رفته است، و به این سبب معلوم نیست که راه حلهایی که او مدعیِ یافتن آنها ست هندسی بوده است یا به کمک رادیکالها.

گذشته از این آثار، آثار بسیار دیگری هم تألیف شده است که هرچند از اهمیت نظری خاصی برخوردار نیستند، بر رواج علم جبر در جهان اسلام دلالت می‌کنند. با همۀ اختلاف نظری كه دربارۀ جایگاه جبر در میان علوم وجود داشت (نک‌ : دنبالۀ مقاله، جایگاه جبر در میان علوم)‌، این علم از همان آغاز به صورت جزء لاینفك علوم ریاضی درآمد و گواه آن آثار بسیاری است كه در این زمینه در شرق و غرب عالم اسلام تألیف شده‌اند و واژۀ «جبر» یا «جبر و مقابله» در عنوان بسیاری از آنها آمده است. در میان این آثار می‌توان از این كتابها و رساله‌ها نام برد: المقدمة الكافیة فی اصول الجبر والمقابلة از ابوالحسن علی سهروردی (د 533 ق/1139م) (قربانی، زندگی‌نامه، 320)؛ ارجوزۀ یاسمینیه در علم جبر از ابن یاسمینی مراكشی(د ح
601 ق/ 1205م) (همان، 53)؛ نصاب الحبر فی حساب الجبر از ابن فلّوس ماردینی (590-637 یا650 ق/1194-1239 یا 1252م) (همان،40)؛ اختصار الجبر از ابن بدر (د پیش از 687 ق/1288م) از مردم بلنسیه (والنسیا) در اندلس (همان، 14)؛ رسالۀ جبر و مقابله از نصیرالدین طوسی (نک‌ : مآخذ)؛ رسالۀ جبر از ابوالعلاء بهشتی (د 749ق/1348م)‌، كه ظاهراً برای استفادۀ فقیهان نوشته شده بوده است (قربانی، همان، 88)؛ الجبر والخطأین از سعد بیهقی (زنده در 772ق/1370م) (همان، 262)؛ المقنع فی علم الجبر والمقابله از ابن هائم مصری (753 یا 756-814 ق/1352 یا 1355-1411م) (همان، 46)؛ و رسالۀ جبر از ابومنصور طوسی (ظاهراً سدۀ 9ق/15م) (همان، 262). غالب این آثار ابتدایی‌اند و از «جبر» تنها به حل 6 معادلۀ خوارزمی و گاهی نیز به بیان قواعد حساب بر روی تك‌جمله‌ایها اكتفا می‌كنند.
گذشته از این، بسیاری از آثاری كه در علم حساب نوشته شده‌اند، در كنار قواعد حساب بر روی اعداد صحیح و كسرها و استخراج جذر و نیز محاسبۀ مساحت اشكال ساده‌، شامل فصلی در باب جبرند. از این جمله است: ارشاد الحُسّاب الی المفتوح من علم الحساب از ابن فلوس ماردینی؛ مرشدة الطالب الى اسنی المطالب از ابن هائم مصری (همان، 45)؛ لب الحساب از علی بن یوسف بن علی منشی (سدۀ 6 ق/15م) (نک‌ : مآخذ)؛ رسالة فی طریق المسائل العددیه، به فارسی، از شرف‌الدین سمرقندی (زنده در 632 ق/1235م) (قربانی، همان، 276)؛ «البدیع فی علم الحساب»، به فارسی، از مسعود بن احمد خاصبكی (احتمالاً اواخر سدۀ 7ق/13م) (نک‌ : مآخذ)؛ رسالة فی الحساب از قاضی زاده رومی (ح766- ح840 ق/1365-1436م) (قربانی، همان، 344)؛ رسالۀ محمدیه در حساب از ملا علی قوشجی (د 879 ق/ 1377م) (همان، 362)؛ الكفایة فی الحساب از غیاث الدین منصور دشتكی (د 948ق/1541م) (همان، 337)؛ بُغیة الطلّاب من علم الحساب از تقی الدین ابن معروف (932-993ق/1526-1585م) (همان، 200)؛ خلاصة الحساب از شیخ بهایی (953-1031ق/1546-1622م) كه شروح متعددی به فارسی و عربی بر آن نوشته شده است؛ و عیون الحساب از ملا محمد باقر یزدی (زنده در 1047ق/1637م) (همان، 437).
در برخی از این آثار قواعد حساب و جبر در هم آمیخته‌اند، اما بسیاری از آنها نخست عملیات در مورد اعداد معلوم بیان گردیده، و سپس راههای استخراج مجهولات از طریق جبر ذكر شده است. غالب این آثار از «حساب خطأین» نیز، به عنوان یكی از راههای استخراج مجهولات، در كنار جبر و مقابله بحث كرده‌اند. تقریباً هیچ یك از این آثار از حد حل معادلات شش‌گانۀ خوارزمی فراتر نمی‌روند‌، هرچند در عیون الحساب برخی از معادلات درجۀ پنجم به صورت تقریبی حل شده است (همان، 437). هیچ یک از این آثار هم الگوریتمهای حل معادلات را اثبات نمی‌کنند. در غرب سرزمینهای اسلامی ــ که تکـوین علم جبر در آن متأخر بر شرق و دنبالـه‌رو آن بود ــ نیز كتاب پرنفوذ تلخیص اعمال الحساب اثر ابن بنا به همین اسلوب تألیف شده، و شامل 2 جزء است. جزء اول، «در عدد معلوم»، مشتمل بر اعمال اصلی حسابی در مورد اعداد صحیح و كسرها و نیز استخراج جذر؛ و جزء دوم عمدتاً دربارۀ جبر و مقابله است كه شامل حل معادلات شش‌گانۀ خوارزمی و نیز قواعد ضرب و تقسیم تك‌جمله‌ایهای جبری است. نوآوری ابن بنا در این است كه برای توان واژه «اُسّ» را اختیار می كند،‌ بدین معنی كه اس مقدار معلوم را صفر، اس x را یك، اس x2 را 2، ... و اس xn را n می گیرد. بدین ترتیب ضرب و تقسیم تك‌جمله‌ایها به جمع و تفریق اس آنها تبدیل می شود:
xp. xq = xp+q
xp: xq = xp-q
(ابن بنا‌، 76-77). با این نام‌گذاری،‌ ابن بنا معادله‌ای به صورت ax2+p + b1+p = cxp را به صورت معادلۀ ax2 + bx = c در می‌آورد. قواعدی كه ابن بنا به دست می‌دهد، هرچند كار محاسبات جبری را آسان‌تر می‌كند، از لحاظ نظری چیزی بر دستاوردهای كرجی و مكتب او نمی‌افزاید.
كاربرد نماد در جبر: تقریباً همۀ آثار مهم جبری دوران اسلامی به زبان متعارف نوشته شده‌اند و هیچ كوششی برای نمادگذاری در آنها دیده نمی‌شود. این‌گونه جبر را معمولاً «جبر لفظی» می‌گویند. تنها استثنا برخی از آثاری است كه از سده‌های 8-10ق/14-16م در غرب سرزمینهای اسلامی تألیف شده است. غالب این آثار شروح تلخیص اعمال الحساب ابن بنا هستند. ابن قنفذ ریاضی‌دان الجزایری (د 810 ق/1407م) در حط النقاب علیٰ وجه عمل الحساب خود (قربانی، همان، 42)‌، كه شرحی است بر تلخیص ابن بنا، برای برخی از اصطلاحات جبری صورت مختصری اختیار كرده است. وی شیء را با «ش» و «مال» را با «م» و «كعب» را با «ك» و «مال مال» را با «م م» نشان داده، و برای تساوی نیز حرف «ل» را برگزیده است. یكی دیگر از علمای سدۀ 8 ق/14م به نام یعقوب بن ایوب بن عبد الواحد نیز از همین نشانه‌های ابن قنفذ استفاده كرده است (سعیدان، 1/44). این‌گونه نمادگذاری در كشف الجَلباب عن علم الحساب قلصادی (د 891 ق/1486م) و كشف الاسرار عن وضع حروف الغبار او، كه خلاصه‌ای است از كشف الجلباب،‌ به كار رفته است (ووپكه، «یادداشتی... 1»، 643). قلصادی این گونه نمادگذاری را در شرح تلخیص اعمال الحساب خود نیز به كار برده است. با این نمادگذاری، فی المثل معادله 2x64 + 3x16 = 4x8 به صورتِ
م
م ك م
8 ل 16 64

در می‌آید (قلصادی، 269- 275). این گونه خلاصه‌نویسی در بغیة الطلاب فی شرح منیة الحساب ابن غازی مكناسی (نک‌ : مآخذ) که شرحی است به نثر بر منظومۀ ریاضی مؤلف، هم دیده می‌شود. ظاهراً این‌گونه استفاده از علامات تنها در غرب سرزمینهای اسلامی رایج بوده، و از همان اوایل سدۀ 10ق/16م نیز متروك شده است.
در زمانهای متأخر، در تکمله‌ای که ملاعلی محمد اصفهانی، ریاضی‌دان ایرانی سدۀ 13ق/19م، در 1240ق/1825م، بر عیون الحساب ملا باقر یزدی نوشته، معادلات درجۀ سوم به روشی بدیع حل شده است كه نشانۀ زنده بودن سنت علم جبر در ایران آن زمان است (راشد‌، «ریاضیات سنتی...1»، 394). فرزند همین اصفهانی، میرزا عبد الغفار نجم الدوله (1255-1326ق/1839- 1908م)، در 1276ق/1859م، در دوران دانشجویی در دارالفنون، در رساله‌ای به نام حل ما لاینحل مسائلی را كه در آخر خلاصة الحساب شیخ بهایی آمده، و برخی از آنها به معادلات جبری درجۀ چهارم منجر می‌شوند، حل كرده است (پاكدامن، 329-330). این كتاب را می‌توان پایان جبر اسلامی و سرآغاز جبر جدید در ایران دانست.
جایگاه جبر در میان علوم: در طبقه‌بندیهای یونانیان از علوم، نام علم جبر جزء علوم ریاضی نیامده است. نخستین کسی که جبر را در طبقه‌بندی علوم داخل کرده فارابی است که در احصاء العلوم خود بخشی را به «علم الحیل» یا «علوم الحیل» اختصاص داده است. این علوم، که فارابی در تعریف آنها می‌گوید: «علم شیوۀ چاره‌جویی است برای کاربردِ آنچه وجودشان در ریاضیات با برهان ثابت شده، در اجسام طبیعی و ایجاد و وضع آنها بالفعل» (ص 88)، افزون بر «علم حیل» به معنای متعارف آن و نیز «علم آینه‌های سوزان»، که جزء «حیل هندسی»اند، دستۀ دیگری از علوم را نیز دربرمی‌گیرد که فارابی آنها را «حیل عددی» می‌نامد و شامل «علمی است که در میان مردم زمان ما به جبر و مقابله معروف است» (همو، 89). از اینکه فارابی جبر را جزء علوم حیل آورده، معلوم می‌شود که از نظر او، هنوز جبر نه علمی برهانی، بلکه مجموعه‌ای از شگردها برای استخراج ریشه‌های معادلات شمرده می‌شده است. این دیدگاه به نحوی در طبقه‌بندی ابن سینا از علوم هم منعکس شده است. وی در رسالۀ «فی اقسام العلوم العقلیة»، جبر را جزء «اجزاء فرعیِ ریاضیات» آورده، و آن را، در کنار «عمل جمع و تفریق بر حَسَب حساب هندی» یکی از «شاخه‌های علم اعداد» شمرده است (ص 122).
در تقسیم‌بندیِ ابن سینا، علم «حیل هندسی»، در کنار «علم اثقال، صناعت اوزان و موازین، مناظر و مرایا و آینه‌ها» جزء فروع علم هندسه شمرده شده است. همین طبقه‌بندی در رساله‌ای از نصیر الدین طوسی نیز بعینه تکرار شده است («اقسام...»، 527).
بدین ترتیب، در تقسیم‌بندی ابن سینا آنچه فارابی «علوم حیل» نام داده، با تفصیل بیشتر، «اقسام فرعی علوم ریاضی» نام گرفته است. با این حال، ابن سینا برخی از این رشته‌ها (علم المساحة، علم الحیل المتحرکة، علم نقل المیاه) را «علم»، و برخی دیگر، از جمله جبر، را «عمل» می‌نامد. ظاهراً خصوصیت مشترک دستۀ اخیر عملی بودن آنها ست. ابن سینا در تقسیم‌بندیهای دیگری که از علوم کرده است، این علوم فرعی را ذکر نمی‌کند (نک‌ : «منطق...»، 257-259، که تصریح می‌کند تنها علوم اصلی را ذکر کرده است).
در تعریف کرجی (سدۀ 4ق/10م)، جبر و مقابله از روشهای «حساب» است، اما تعریف کرجی از حساب بسیار کلی‌تر از مفهوم حساب به عنوان مجموعه‌ای از روشها، و «عبارت است از به دست آوردن مجهولات از معلومات» (نک‌ : البدیع، 7، «الفخری»، 97)، این تعریف خود در واقع از مفهوم جدید جبر متأثر است. تعریفی که کرجی از روشهای حساب به دست می‌دهد هم حل معادلات سیال و معین را شامل می‌شود و هم حساب چند‌جمله‌ایها را.
خیام در رسالۀ جبر و مقابلۀ خود، «صناعت جبر و مقابله» را یکی از «مفاهیم ریاضی» می‌شمارد، «که در بخشی از فلسفه که به ریاضی معروف است، بدان نیاز می‌افتد» (نک‌ : راشد و وهاب‌زاده، 117). هرچند او در این عبارت در صدد به دست دادن تعریفی جامع و مانع از جبر نیست، اما از این عبارت چنین استفاده می‌شود که جبر اولاً «صناعت» است و ثانیاً جزء علوم ریاضی است. نتیجۀ کلی سخن خیام این است که جبر در طبقه‌بندی کلی علوم فلسفی قرار می‌گیرد، هرچند او جایگاه آن را در میان این علوم مشخص نمی‌کند. وی همچنین در تعریف جبر می‌نویسد که «فن جبر و مقابله فنی علمی است که موضوع آن عدد مطلق و مقادیر قابل سنجش است از آن جهت که مجهول‌اند، ولی مرتبط با چیز معلومی هستند که به وسیلۀ ‌آن می‌توان آنها را استخراج کرد» (همان دو، 120-121؛ مصاحب، 161).
بنابراین، در نظر خیام، مقادیر عددی و مقادیر هندسی هر دو می‌توانند ریشۀ معادلات جبری باشند. خیام در رسالۀ دیگر خود به نام «تقسیم ربع دائره» نیز تلویحاً با این فکر که جبر مجموعه‌ای از شگردها (= حیله‌ها، یادآوری می‌شود که در تقسیم‌بندی فارابی جبر جزء «علوم الحیل» قرار می‌گیرد) باشد، مخالفت می‌کند. خیام می‌نویسد : «و آنکه گمان برده ‌است که جبر حیله‌ای ]شگردی[ برای استخراج اعداد مجهول است، امر نامعقولی را گمان برده است. ... جبر و مقابله اموری هندسی است که به وسیلۀ اَشکال پنجم و ششم مقالۀ دوم ] اصول اقلیدس[ مبرهن می‌شود» (راشد و وهاب‌زاده، 251؛ مصاحب، 264). به این ترتیب، جبر و مقابله، از نظر خیام، علمی هندسی است و چون هندسی است بُرهانی نیز هست. این اختلاف در جایگاه جبر به دلیل تازگی این علم و دو تصوری است که از آغاز این علم به موازات هم وجود داشته است.
در طبقه‌بندیهای متأخر (مثلاً حاجی خلیفه، 1/578) علم جبر و مقابله «از فروع علم حساب» شمرده شده است. اما باید توجه داشت که این طبقه‌بندیها به دورانی تعلق دارند که دستاوردهای بزرگ علم جبر دوران اسلامی فراموش شده، و از آن تقریباً چیزی جز حل 6 دسته معادلۀ خوارزمی باقی نمانده بود.
تأثیر جبر دوران اسلامی در اروپا: آشنایی اروپاییان با علم جبر با ترجمۀ لاتینی جبر و مقابلۀ خوارزمی آغاز شد. از این کتاب دو ترجمۀ لاتینی در دست است: یکی ترجمۀ روبرت چِسْتِری (یا روبرت ریدینگ) که در 1144م انجام گرفته است (کارپینسکی، 127). این ترجمه به نامهای گوناگون شناخته شده است که در همۀ آنها واژه‌های جبر و مقابله آمده است (از جمله: Liber algebrae et almucabola)؛ و دیگری ترجمۀ گراردوس کرمونایی (ح 1114-1187م/508-583 ق) که تاریخش معلوم نیست، اما به احتمال زیاد پس از ترجمۀ روبرت چستری صورت گرفته است. این ترجمه هم De iebra et almucabala نام دارد. از هر دو ترجمه نسخه‌های متعدد، و گاه متفاوت، باقی مانده است که گواه بر تأثیر آنها بر تحول جبر در اروپای قرون وسطیٰ است. از طریق این ترجمه‌ها ست که اروپاییان با علم جبر آشنا شدند. تأثیر جبر دورۀ اسلامی در آثار لئوناردو فیبوناتچی
(ح 1170 ـ پس از 1240م/ 565-638 ق)، که معمولاً نخستین ریاضی‌دان بزرگ اروپایی شمرده می‌شود، به‌ویژه در «کتاب حساب1» او بسیار محسوس است. با تحقیق در آثار ابوکامل معلوم شده است که بسیاری از مطالب این کتاب نه مستقیم از الحساب دیوفانتوس، بلکه از نوشته‌های ابوکامل گرفته شده است. این اثر «از لحاظ محتوای ریاضی، از حد آثار اسلاف عربی‌نویس فیبوناتچی فراتر نمی‌رود» («زندگی‌نامه»، IV/608).
گذشته از این پیوندهای تاریخی، پیوندهای مفهومی میان جبر دوران اسلامی و جبر جدید اروپایی تا سدۀ 17م/ 11ق ادامه می‌یابد. شیوۀ فرما در محاسبۀ مقادیر بیشینه و کمینۀ توابع به شیوۀ شرف الدین طوسی بسیار نزدیک است (راشد، «آثار...2»، مقدمه، 27-30) و برنامه‌ای را که دکارت از 1619م/ 1028ق آغاز کرد، و حاصل آن کتاب «هندسۀ3» او ست که در 1637م/ 1047ق منتشر شد، می‌توان ادامه و مکمل کار خیام در جبر و مقابله دانست (راشد و وهاب‌زاده، 12-29).

1. Liber abaci. 2. Sharaf al-Dīn... 3. La géométrie. 4. » ābit...« 5. Al-Khayyām...
مآخذ: ابن ابی اصیبعه، احمد، عیون الانباء، به کوشش آوگوست مولر، قاهره، 1299ق/1883م؛ ابن اکفانی، محمد، ارشاد القاصد، کلکته، 1849م؛ ابن بنا، احمد، تلخیص اعمال الحساب، به کوشش محمد سویسی، تونس، 1969م؛ ابن دایه، احمد، المکافاة، به کوشش محمود محمد شاکر، بیروت، دارالکتب العلمیه؛ ابن سینا، «فی اقسام العلوم العقلیة»، «منطق المشرقیین»، رسائل فی الفلسفة، قاهره، 1326ق؛ ابن غازی، محمد، بغیة الطلاب فی شرح منیة الحساب، به کوشش محمد سویسی، حلب، 1403ق/1983م؛ ابن ندیم، الفهرست؛ ابوکامل، شجاع، الجبر والمقابلة، چ تصویری، به کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، 1986م؛ همو، «طرائف الحساب»، تاریخ علم الجبر فی العالم العربی (نک‌ : هم‌ ، سعیدان)؛ بلاذری، احمد، انساب الاشراف، به کوشش عبد العزیز دوری، بیروت، 1398ق/1978م؛ همو، فتوح البلدان، به کوشش دخویه، لیدن، 1865م؛ بیرونی، ابوریحان، التفهیم (عربی)، به کوشش رمزی رایت، آکسفرد، 1934م؛ همو، همان (فارسی)، به‌کوشش جلال‌الدین همایی، تهران، 1363ش؛ پاکدامن، ناصر، «میرزا عبدالغفار نجم‌الدوله و تشخیص نفوس دارالخلافه»، فرهنگ ایران زمین، تهران، 1353ش، ج 20؛ ثابت بن قره، «قول فی تصحیح مسائل الجبر بالبراهین الهندسیة»، «ثابت...4» (نک‌ : مل‌ ، لوکی)؛ حاجی خلیفه، کشف؛ خاصبکی، مسعود، «البدیع فی علم الحساب»، سفینۀ تبریز، چ تصویری، تهران، 1381ش؛ خوارزمی، محمد بن احمد، مفاتیح العلوم، به کوشش فان فلوتن، لیدن، 1895م؛ خوارزمی، محمد بن موسیٰ، الجبر والمقابلة، به کوشش علی مصطفیٰ مشرفه و محمد مرسی احمد، قاهره، 1968م؛ خیام، «مقالة فی الجبر و المقابلة»، «الخیام...5» (نک‌ : مل‌ ، راشد و وهاب‌زاده)؛ دیوفانتوس، صناعة الجبر، ترجمۀ قسطابن لوقا، به کوشش رشدی راشد، قاهره، 1975م؛ سعیدان، احمد سلیم، تاریخ علم الجبر فی العالم العربی، کویت، 1985م؛ شرف الدین طوسی، «المعادلات»، المؤلفات الریاضیة، به کوشش رشدی راشد، \پاریس، 1986م‌؛ طاش‌کوپری‌زاده، احمد، مفتاح السعادة، حیدرآباد دکن، 1328-1329ق؛ غیاث الدین جمشید کاشانی، مفتاح الحساب، به کوشش احمد سعید دمرداش و محمد حمدی خفنی شیخ، قاهره، 1967م؛ فارابی، احصاء العلوم، به کوشش عثمان امین، قاهره، 1949م؛ فخر الدین رازی، جامع العلوم، به کوشش علی آل داود، تهران، 1382ش؛ قربانی، ابوالقاسم، زندگی‌نامۀ ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی، تهران، 1365ش؛ همو، کاشانی نامه، تهران، 1368ش؛ قلصادی، ابوالحسن، شرح تلخیص اعمال الحساب، به کوشش فارس بن طالب، بیروت، 1999م؛ کرجی، محمد، البدیع فی الحساب، به کوشش عادل انبوبا، بیروت، 1964م؛ همو، «الفخری»، تاریخ علم الجبر فی العالم العربی (نک‌ : هم‌ ، سعیدان)؛ مصاحب، غلامحسین، حکیم عمر خیام به عنوان عالم جبر، تهران، 1339ش؛ منشی، علی، لب الحساب، چ تصویری، تهران، 1368ش؛ نصیر الدین طوسی، «اقسام الحکمه»، تلخیص المحصل، به کوشش عبدالله نورانی، تهران، 1359ش؛ همو، جبر و مقابله، به کوشش اکبر دانا سرشت، تهران، 1335ش؛ هوخندایک، ی. ب.، مقدمه بر الجبر و المقابلة (نک‌ : هم‌ ، ابوکامل)؛ نیز:

Anbouba, A., »L’Algèbre arabe au IXe et Xe siècle. Aperçu général«, Journal for the History of Arabic Science, Aleppo, 1978, no. 2(1); Bellosta, H., »L’Emergence du négatife« , De Zénon d’Elée à Poincaré, Louvain/Paris, 2004; Ben Miled, M., »Les Commentaires d’al-Māhānī et d’un anonyme du Livre X des Eléments d’Euclide«, Arabic Sciences and Philosophy, Cambridge, 1999, vol. IX(1); id, »Les Quantités sourdes avant al-Karaji«, De Zénon d’Elée à Poincaré, Louvain/Paris, 2004; Dictionary of Scientific Biography, New York, 1971; Diophante, Les Arithmétiques, tr. R. Rashed, Paris, 1984; EI2; Gandz, S., »The Origin and Development of the Quadratic Equations in Babylonian, Greek and Early Arabic Algebra«, Osiris, 1937, no.3; GAS; Heath, T. L.,The  Thirteen Books of Euclid’s Elements, Oxford, 1908; Karpinski, L. C., »Robert of Chester’s Translation of the Algebra of Al-Khowarizmi«, Bibliotheca mathematica, Leipzig, 1910-1911; Knorr, W. R., The Ancient Tradition of Geometric Problems, Boston, 1986; Levey, M., The Algebra of Abū Kāmil, Kitāb fī al-jabr wa’l-muqābala, in a Commentary by Mordecai Finzi, Madison etc., 1966; Luckey, P., »ābit b. Qurra über den geometrischen Richtigkeitsnachweis der Auflösung der quadratischen Gleichungen«, Berichte über die Verhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, 1941, vol. XCIII; Neugebauer, O., The Exact Sciences in Antiquity, New York, 1969; Ptolemy, Almagest, tr. G. J. Toomer, London, 1984; Rashed, R., »L’Algèbre«, Histoire des sciences arabes, Paris, 1997; id, Entre arithmétique et l’algèbre, Paris, 1984; id, introd. Les Arithmétiques (vide: Diophante); id, Al-Khurārizmi, Le Commencement de l'algèbre, Paris, 2007; id, Les Mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, London, 1416/1996; id, »Mathématiques traditionnelles dans les pays islamiques au XIX siècle: l’exemple de l’Iran«, Transfer of Modern Science and Technology to the Muslim World, Turkey, 1992; id, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, Œuvres mathématiques. Algèbre et Géometrie au XIIe siècle, Paris, 1986; id and B. Vahabzadeh, Al-Khayyām mathématcien, Paris, 1999; Saliba, G. A., »The Meaning of al-jabr wa’l-muqābalah«, Studies in the Islamic Exact Sciences, by E. S. Kennedy, Beirut, 1983; Sayılı, A., Logical Necessities in Mixed Equations by ‘Abd al Ħamîd ibn Turk and the Algebra of His Time, Ankara, 1985; Suter, H., Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, Leipzig, 1900; Unguru, S., »On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics«, Classics in the History of Greek Mathematics, Dordrecht, 2004; Van der Waerden, B. L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Berlin, 1983; Weil, A., »Who Betrayed Euclid?«, Classics in the History of Greek Mathematics, Dordrecht, 2004; Woepcke, F., Extrait du Fakhrī, traité d’algèbre par Aboū Bekr Mohammad Ben Alhaçan Alkarkhī, précédé d’un mémoire sur l’algèbre indéterminée chez les Arabes, Paris, 1853; id, »Note sur des notations algébriques employées par les Arabes«, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Academie des Sciences, 1855, vol. VI.
حسین معصومی همدانی

 

1. Saliba

2. Van der Waerden

3. incommensurable

4. Die Lehre von den Kegelschnitten in Altertum.
1. symptoma

2. logistik

3. Dictionary...

4. arithmetike techne

5. Les Arthmétiques...

6. Al-Khawārizmi…

1. »L’Algèbre« 2. Entre...

1. Paul Sbath

1. Ptolemy 2. Les Mathématiques...

1. Extrait... 2. »Les Quantités... « 3. »Les Commentaires... «

1. Knorr 2. neusis
1. Ruffini-Horner

1. »Note... «1. »Mathématiques... «