واحد، ثلاثة، خمسة، سبعة، تسعة، أحد عشر، و ما زاد على ذلك فإن التفاوت بين كل عددين منها اثنان اثنان. و على هذا القياس تبنى سائر النّسب العددية، و إنما يعتبر مساواة تفاوت ما بينهما. و من خاصيّة هذه النّسبة أن كلّ عددين، أيّ عددين كانا، إذا أخذ نصف كلّ واحد منهما، و جمع يكون منهما عدد آخر متوسط بين العددين؛ مثال ذلك: ثلاثة و أربعة تفاوت ما بينهما واحد، فإن أخذ نصف الثلاثة و هو واحد، و نصف الأربعة و هو اثنان، و جمع بينهما يكون ثلاثة و نصفا، و ثلاثة و نصف أكثر من ثلاثة بنصف، و ينقص عن الأربعة بنصف، و على هذا القياس يعتبر سائر النّسب العددية.

و أما النسبة الهندسيّة فهي قدر أحد العددين المختلفين عند العدد الآخر، مثال ذلك: أربعة، ستة، تسعة، فإنما هي في نسبة هندسيّة، و ذلك أن نسبة الأربعة إلى الستة كنسبة الستة إلى التسعة، و ذلك أن الأربعة ثلثا الستة، و الستة ثلثا التسعة، و كذلك بالعكس، فإن نسبة التسعة إلى الستّة كنسبة السّتة إلى الأربعة، و ذلك أن التسعة مثل الستة و مثل نصفها، و الستة مثل الأربعة و مثل نصفها، و هكذا: ثمانية و اثنا عشر، و ثمانية عشر و سبعة و عشرون، فإنها كلّها في نسبة هندسية، و ذلك ان الثمانية ثلثا الاثني عشر، و الاثني عشر ثلثا الثمانية عشر، و الثمانية عشر ثلثا السبعة و العشرين، و كذلك بالعكس سبعة و عشرون مثل ثمانية عشر و مثل نصفها، و ثمانية عشر مثل اثني عشر و مثل نصفها، و الاثنا عشر مثل الثمانية و مثل نصفها، و على هذا المثال يعتبر سائر النّسب الهندسية.

و هي تنقسم نوعين متصلة و منفصلة، فالمتصلة مثل هذه التي قدّمنا ذكرها، و من خاصيّة هذه النسبة، إذا كانت ثلاثة أعداد، فإن ضرب الأول في الثالث مثل ضرب الثاني في نفسه، مثال ذلك أن ضرب الأربعة في التسعة مثل ضرب الستة في نفسها، و إن كانت أربعة أعداد، فإن ضرب‌