ما يتّخذ فيه من العصير ثلاثة أجزاء و من الماء جزء واحد و يغلى إلى أن يذهب الثلث كذا قال الإيلاقي و يسمّى بالفختج أيضا. فعلم من هذا أنّ ما ذهب إليه الأطباء من أنّ المثلّث هو ماء العنب إذا أغلي و أخرجت رغوته حتى يبقى منه الثلث و يذهب الثلثان غلط، و منشأ غلطهم المثلث الفقهي فخلطوا المثلث الطبي بالمثلث الفقهي و يسمّى المثلث بالشراب المغسول أيضا كذا في بحر الجواهر. و عند أهل التكسير أي أصحاب الجفر هو مربّع مشتمل على تسعة مربعات صغار سمّي به لأنّ أحد أضلاعه مشتمل على ثلاثة مربعات صغار و يسمّى بالوفق الثلاثي أيضا. و يقال له مربع ثلاثة في ثلاثة أيضا هكذا في بعض الرسائل. و عند المهندسين هو سطح يحيط به ثلاثة خطوط سواء كانت تلك الخطوط كلها مستقيمة و يسمّى مثلثا مستقيم الأضلاع، و هو الذي يبحث عنه في علم المساحة، أو كلها منحنية كالمثلث المفروض في سطح الكرة و يسمّى بمثلث سطح الكرة، و هو قطعة من سطح الكرة يحيط بها ثلاث قسي من الدوائر العظام، كلّ منها أي من تلك القسي يكون أصغر من نصف الدور على ما صرّح به عبد العلي البرجندي في شرح زيج الغ بيكي، أو بعضها منحنية كما إذا قطع مخروط بنصفين على السّهم فيحصل من سطحه المستدير مثلث أحاط به خطان مستقيمان و خط مستدير و هو نصف محيط القاعدة و يسمّى مثلثا غير مستقيم الأضلاع. ثم المثلث المستقيم له تقسيمان تقسيم باعتبار الضلع و تقسيم باعتبار الزاوية.

فبالاعتبار الأول إمّا مختلف الأضلاع و هو الذي لا يكون أحد من أضلاعه أي من خطوطه المستقيمة مساويا للآخر، و إمّا متساوي الأضلاع و هو الذي أضلاعه جميعها متساوية أي لا يكون بعضها أزيد من بعض آخر، و إمّا متساوي الساقين و هو الذي يتساوى ضلعاه فقط.

و بالاعتبار الثاني إمّا قائم الزاوية و هو الذي يوجد فيه قائمة و إمّا منفرج الزاوية و هو الذي يوجد فيه منفرجة و إمّا حاد الزوايا و هو الذي لا يوجد فيه قائمة و لا منفرجة بل تكون جميع زواياه حادّة و الحصر في التقسيم الأول واضح.

و أما في التقسيم الثاني فلأنّ المثلث لا بدّ أن تكون زواياه الثلاث مساوية لقائمتين على ما ثبت في علم الهندسة، فلا يمكن أن يكون فيه أزيد من قائمة و لا منفرجة كما لا يخفى. و إذا ضرب عدد أقسام التقسيم الأول في عدد أقسام التقسيم الثاني يحصل تسعة أقسام، و لكن الاثنين منها ممتنعان وقوعا و هما المتساوي الأضلاع القائم الزاوية أو منفرجها، فالأقسام الممكنة الوقوع سبعة، هكذا يستفاد من شرح أشكال التأسيس و شرح خلاصة الحساب.

فائدة:

كلّ ضلع من أضلاع المثلّث بالنسبة إلى الضلعين الآخرين يسمّى قاعدة المثلّث و الضلعان الآخران بالنسبة إليها أي إلى القاعدة يسمّيان بالساقين، و الزاوية التي بين الساقين تسمّى رأس المثلّث. و مثلّث المخمّس عندهم على ما وقع في تحرير أقليدس هو المثلّث المتساوي الساقين الذي يكون كلّ واحدة من زاويتي قاعدته مثلي زاوية رأسه أي ضعف زاوية رأسه. و عند المنجّمين هو المرفوع ثلاث مرات و سيجي‌ء.

و يطلق المثلثة عندهم أيضا على ثلاثة بروج متحدة في الطبيعة. فالحمل و الأسد و القوس مثلثة نارية لكونها على طبيعة النار. و الثور و السّنبلة و الجدي مثلثة أرضية لكونها على طبيعة الأرض. و الجوزاء و الميزان و الدلو مثلثة هوائية لكونها على طبع الهواء. و السّرطان و العقرب و الحوت مثلثة مائية لكونها على طبع الماء، و كلّ منها منسوبة إلى كوكب و يسمّى ذلك الكوكب بربّ تلك المثلثة. و أرباب المثلثتين النارية و الهوائية هي الكواكب المذكرة من‌