اُقْليدِس‌، مشهورترين‌ رياضى‌دان‌ دوران‌ باستان‌ (سده‌هاي‌ 4 و 3ق‌ م‌) كه‌ شهرتش‌ به‌ عنوان‌ پدر هندسه‌ تاكنون‌ پايدار مانده‌ است‌. از زادگاه‌ و چگونگى‌ آموزش‌ او آگاهى‌ روشنى‌ در دست‌ نيست‌. هر آنچه‌ دربارة زندگانى‌ اقليدس‌ نقل‌ شده‌، يا از گزارشگران‌ اواخر دورة باستان‌، يا از نويسندگان‌ دورة اسلامى‌ است‌. وي‌ را معاصر اطولوقس‌ و ارشميدس‌ (ه م‌ م‌) - از اين‌ يك‌ سالمندتر و از آن‌ يك‌ اندكى‌ جوان‌تر - شمرده‌اند. قرائنى‌ نيز اين‌ نظر را تأييد مى‌كند، از جمله‌ اينكه‌ اقليدس‌ در كتاب‌ پديده‌ها ( الظاهرات‌ ) از دو اثر اطولوقس‌، يعنى‌ دربارة كرة متحرك‌ و طلوع‌ و غروب‌ ستارگان‌ ياد كرده‌ است‌، در حالى‌ كه‌ در آثار اطولوقس‌ اشاره‌اي‌ به‌ اقليدس‌ ديده‌ نمى‌شود. نظر ياد شده‌، همچنين‌ با گزارشى‌ كه‌ در مجموعة رياضيات‌ پاپوس‌ دربارة رابطة اقليدس‌ و آريستايوس‌، مصنف‌ كتاب‌ مخروطات‌ آمده‌، و بر پاية آن‌ وي‌ نيز معاصر سالمندتر اقليدس‌ به‌ شمار رفته‌، سازگار است‌. اما از سوي‌ ديگر، آنچه‌ دربارة اشارة ارشميدس‌ به‌ اقليدس‌ در كتاب‌ كره‌ و استوانه‌، و استفادة وي‌ از اصول‌ هندسه‌ گفته‌ شده‌، سخت‌ محل‌ ترديد است‌ و واقعاً نيز چنانكه‌ كسانى‌ گفته‌اند، ممكن‌ است‌ آن‌ اشاره‌ از خود ارشميدس‌ نبوده‌، بلكه‌از سوي‌كاتبى‌از حاشية آن‌ اثر به‌متن‌ منتقل‌شده‌باشد(نصيرالدين‌، «تحرير ظاهرات‌...»، 7، 12؛ كانتور، ؛ I/261 پاولى‌، ؛ VI(1)/1003- 1004 ؛ «فرهنگ‌...1»، 431-432 .(IV/414, به‌ هر صورت‌، تقريباً مسلم‌ است‌ كه‌ اقليدس‌ از 328 تا 385 ق‌م‌ در آتن‌ و اسكندريه‌ فعاليت‌ علمى‌ داشته‌ است‌، و بايد افزود كه‌ با توجه‌ به‌ آنچه‌ از نوشته‌هاي‌ او باقى‌ مانده‌، و نيز گزارشهايى‌ كه‌ دربارة آثار گمشدة او در دست‌ است‌، دوران‌ فعاليت‌ علمى‌ او سالهاي‌ درازتري‌ را در بر مى‌گيرد و محتمل‌ است‌ كه‌ تا حدود 270ق‌ م‌ نيز زيسته‌ باشد ( پاولى‌، نيز «فرهنگ‌»، همانجاها).
اقليدس‌ با بطلميوس‌ اول‌ (حك 305- 285 ق‌م‌) روابط شخصى‌ داشته‌، و به‌ روايت‌ پروكلس‌1 (سدة 5م‌) در شرح‌ مفصلى‌ كه‌ بر كتاب‌ اول‌ اصول‌ هندسه‌ نوشته‌ است‌، در پاسخ‌ آن‌ پادشاه‌ كه‌ پرسيده‌ بود: آيا نمى‌توان‌ هندسه‌ را از راهى‌ كوتاه‌تر از آنچه‌ در كتاب‌ اصول‌ تعليم‌ داده‌ مى‌شود، آموخت‌، گفته‌ است‌: براي‌ آموختن‌ هندسه‌، راه‌ ويژه‌اي‌ كه‌ براي‌ شاهان‌ ساخته‌ شده‌ باشد، وجود ندارد. گرچه‌ استوبائيوس‌2 همين‌ لطيفة نيشدار را از منائخموس‌3 در پاسخ‌ پرسش‌ مشابهى‌ از اسكندر روايت‌ مى‌كند، به‌ هيچ‌ وجه‌ بعيد نيست‌ كه‌ اقليدس‌ نيز آن‌ را تكرار كرده‌ باشد (همانجاها؛ شرايبر، .(28
استوبائيوس‌ حكايت‌ مى‌كند كه‌ يكى‌ از دانشجويان‌ اقليدس‌ پس‌ از آموختن‌ گزارة نخست‌ اصول‌ از وي‌ پرسيد كه‌ از آموختن‌ اين‌ مطالب‌ چه‌ سودي‌ حاصل‌ مى‌شود؟ و اقليدس‌ به‌ غلام‌ خود فرمان‌ داد تا پولى‌ به‌ او بدهد، زيرا انتظار دارد با آنچه‌ مى‌آموزد، سودي‌ به‌ دست‌ آورد. در حقيقت‌ چنين‌ برخورد تحقيرآميزي‌ با دانشجوي‌ هندسه‌، از سوي‌ دانشمند فرهيخته‌اي‌ مانند اقليدس‌ كه‌ پاپوس‌ او را «آرام‌، فروتن‌ و نيكخواه‌ نسبت‌ به‌ همة كسانى‌ كه‌ در پيشرفت‌ رياضيات‌ مى‌كوشند» خوانده‌ است‌، به‌ دشواري‌ قابل‌ تصور است‌، به‌ ويژه‌ اينكه‌ پرس‌ و جو دربارة فايدة هر دانش‌، كاري‌ معقول‌ است‌ و قابل‌ سرزنش‌ نيست‌. به‌ نظر مى‌رسد راويان‌ اين‌ حكايت‌ خواسته‌اند موضع‌گيري‌ اقليدس‌ را كه‌ در انديشة كاربرد عملى‌ رياضيات‌ نبوده‌، و براي‌ آن‌ و هر دانش‌ ديگري‌ شرافت‌ ذاتى‌ مى‌شناخته‌ است‌، برجسته‌ سازند («فرهنگ‌»، ؛ IV/415 شرايبر، .(27-28
در منابع‌ اسلامى‌، از تبار، زادگاه‌ و زندگانى‌ و فعاليت‌ علمى‌ اقليدس‌ با تفصيل‌ بيشتري‌ سخن‌ گفته‌ شده‌ است‌؛ از جمله‌ اينكه‌ وي‌ اهل‌ صور و ساكن‌ شام‌ بوده‌، كار نجاري‌ داشته‌، و در ميان‌ يونانيان‌ كسى‌ به‌ جامعيت‌ او ظهور نكرده‌، و كتابى‌ جامع‌ مانند اصول‌ او پديد نيامده‌ است‌. رياضى‌دانان‌ پس‌ از وي‌ - چه‌ يونانى‌، چه‌ مسلمان‌ - سخنان‌ او را تكرار كرده‌، يا به‌ شرح‌ آثار او پرداخته‌، و احياناً اشكالاتى‌ بر او وارد ساخته‌اند. در هر صورت‌، همگان‌ فضل‌ او را مسلم‌ شمرده‌، و بر ارجمندي‌ آثار او گواهى‌ داده‌اند (ابن‌ نديم‌، 325؛ صاعد، 28-29؛ قفطى‌، 62 -63؛ ابن‌ عبري‌، 63). اما برخى‌ از اين‌ سخنان‌ و از جمله‌ آنچه‌ به‌ زادگاه‌ و تبار و شغل‌ وي‌ مربوط مى‌شود، چنانكه‌ پژوهشگران‌ غربى‌ نيز نشان‌ داده‌اند، پاية درستى‌ ندارد و به‌ ويژه‌ نقل‌ قول‌ ابن‌ نديم‌ و قفطى‌ از كندي‌، در بارة اينكه‌ گويا اصول‌ هندسه‌ در اصل‌ تأليف‌ آپولونيوس‌ بوده‌، و اقليدس‌ به‌ فرمان‌ يكى‌ از ملوك‌ اسكندريه‌، تحرير تازه‌اي‌ از آن‌ فراهم‌ آورده‌، خلط تاريخى‌ است‌ و احتمالاً از اشتباه‌ در ترجمة مقدمة هوپسيكلس‌4 بر كتاب‌ چهاردهم‌ اصول‌، سرچشمه‌ گرفته‌ است‌ (ابن‌نديم‌، 325-326؛ صاعد، قفطى‌، همانجاها؛ هيث‌، 356 ؛ «فرهنگ‌»، .(IV/438
در منابع‌ اسلامى‌ همچنين‌ اقليدس‌ را به‌ عنوان‌ مردي‌ حكيم‌ شناخته‌، و سخنان‌ حكمت‌آميز از او روايت‌ كرده‌اند (شهرستانى‌، 122-123).
آثار:
1. اصول‌. اثر عمدة اقليدس‌ مجموعة اصول‌ است‌. از شرح‌ مفصلى‌ كه‌ پروكلس‌ بر كتاب‌ اول‌ اصول‌ نوشته‌ است‌، اين‌ آگاهى‌ به‌ دست‌ مى‌آيد كه‌ پيش‌ از اقليدس‌، دست‌ كم‌ 3 اثر با همين‌ عنوان‌ - نوشتة بقراط خيوسى‌ (ح‌ 440 ق‌م‌)، لئون‌ (ح‌ 370ق‌م‌) و ثئوديوس‌5 ماگنسيايى‌ (340ق‌م‌) - به‌ عنوان‌ كتابهاي‌ درسى‌ آكادمى‌ افلاطون‌، وجود داشته‌اند. به‌ نظر مى‌رسد كه‌ اقليدس‌، به‌ ويژه‌ از دو اثر اخير، به‌ عنوان‌ الگو در تأليف‌ اثر خويش‌ بهره‌ گرفته‌، و البته‌ معلومات‌ تازه‌تر و نيز يافته‌هاي‌ خود را بر آنها افزوده‌، و نظم‌ بهتري‌ به‌ آنها بخشيده‌ است‌. اقليدس‌ همچنين‌ از آثار ائودوكسوس‌6 و ثئايتتوس‌7 استفاده‌ كرده‌ است‌. اما در هر صورت‌، روشن‌ است‌ كه‌ اثر اقليدس‌، بر آثار رياضى‌ پيش‌ از وي‌ برتري‌ داشته‌ است‌؛ هيچ‌يك‌ از آثار مشابهى‌ نيز كه‌ پس‌ از وي‌ تأليف‌ شده‌، به‌ پاي‌ آن‌ نرسيده‌ است‌، به‌ طوري‌ كه‌ اصول‌ اقليدس‌ در مدت‌ بيش‌ از دو هزار سال‌ حاكم‌ بلامنازع‌ جهان‌ رياضيات‌ بود و هيچ‌ اثر ديگري‌ نتوانست‌ عنوان‌ مهم‌ترين‌ اثر رياضى‌ در سراسر تاريخ‌ را از آن‌ بستاند. اين‌ اثر از 1482م‌ تاكنون‌ بيش‌ از دو هزار بار به‌ چاپ‌ رسيده‌ است‌ («فرهنگ‌»، 423-424 ؛ IV/414, شرايبر، 32 ,27 ؛ ايوز، .(114
از اصول‌ اقليدس‌ هيچ‌ نسخه‌اي‌ اصلى‌ يا نزديك‌ به‌ دوران‌ مؤلف‌ به‌ دست‌ نيامده‌ است‌. اما گذشته‌ از شرح‌ مفصل‌ پروكلس‌ بر اصول‌ - كه‌ اصل‌ يونانى‌ آن‌ بر جا مانده‌ است‌ - چند تن‌ از دانشمندان‌ يونانى‌، مانند گِمينوس‌ (سدة 1 ق‌م‌)، اهرون‌ اسكندرانى‌ (سدة 1 ق‌م‌) فرفوريوس‌ (سدة 3م‌)، پاپوس‌ (سدة 4م‌) و سيمپليكوس‌ (سدة 6م‌) شرحهايى‌ بر اين‌ اثر نوشته‌اند كه‌ اصل‌ يونانى‌ آنها از ميان‌ رفته‌، اما ترجمة عربى‌ بخشهايى‌ از آنها بر جا مانده‌ است‌. همچنين‌ تحرير ديگري‌ كه‌ ثئون‌ اسكندرانى‌ در سدة 4م‌ از اصول‌ فراهم‌ آورده‌، در دست‌ است‌. چاپهاي‌ جديد اين‌ اثر، برپاية همين‌ تحرير تهيه‌ شده‌اند. در ابتداي‌ سدة 19م‌ در كتابخانة واتيكان‌ نسخة كهن‌تري‌ به‌ دست‌ آمد كه‌ با نسخة ثئون‌ تفاوت‌ اندكى‌ دارد. پژوهش‌ در آنچه‌ از شرحهاي‌ كهن‌ باقى‌ مانده‌، و بررسى‌ دقيق‌ نصوص‌ منقول‌ و آنچه‌ به‌ عنوان‌ شرح‌ بر آنها افزوده‌ شده‌ است‌، نشان‌ مى‌دهد كه‌ شارحان‌ در تعريفها، بيان‌ اصول‌ متعارفه‌ و اصول‌ موضوعه‌ تغييراتى‌ داده‌اند، اما گزاره‌ها و اثبات‌ آنها به‌ طور عمده‌ به‌ همان‌ صورتى‌ كه‌ اقليدس‌ نوشته‌ است‌، باقى‌ مانده‌اند. در عين‌حال‌، اين‌ نكته‌ روشن‌ است‌ كه‌ آنچه‌ به‌ عنوان‌ اصل‌ نوشتة اقليدس‌ تلقى‌ مى‌شود نيز، نه‌ تنها در محتوا، بلكه‌ در شيوة نگارش‌ هم‌ برگرفته‌ از آثار رياضى‌دانان‌ پيشين‌ است‌، به‌ طوري‌ كه‌ از راه‌ بررسيهاي‌ زبان‌ شناختى‌ مى‌توان‌ سرچشمه‌هاي‌ آنها را نيز يافت‌ (هيث‌، 360 ؛ ايوز، همانجا؛ «فرهنگ‌»، ؛ IV/414-416 شرايبر، 76 32, .(27,
اصول‌ شامل‌ 13 كتاب‌ است‌. هر كتاب‌ شامل‌ يك‌ سلسله‌ تعريف‌، گزاره‌ يا مسأله‌ است‌. كتاب‌ اول‌ افزون‌ بر اينها، شماري‌ اصول‌ موضوعه‌ و اصول‌ متعارفه‌ را نيز در بر مى‌گيرد. در 6 كتاب‌ نخست‌ به‌ هندسة مسطحه‌ پرداخته‌ مى‌شود. كتاب‌ اول‌ به‌ علت‌ اهميت‌ تاريخى‌ برخى‌ تعريفها و اصول‌ موضوعه‌ و اصول‌ متعارفه‌ كه‌ در آن‌ مطرح‌ شده‌اند، و نيز در برداشتن‌ شماري‌ از معروف‌ترين‌ گزاره‌هاي‌ هندسى‌، از جمله‌ قضية فيثاغورس‌، از همه‌ مهم‌تر به‌ شمار مى‌رود و از دوران‌ باستان‌ تا عصر حاضر - چه‌ در مغرب‌ زمين‌، چه‌ در جهان‌ اسلام‌ - بيش‌ از بخشهاي‌ ديگر محل‌ توجه‌ رياضى‌دانان‌ بوده‌، و مورد بحث‌ و بررسى‌ قرار گرفته‌ است‌.
برخى‌ از تعريفها چنينند: 1. نقطه‌ آن‌ است‌ كه‌ هيچ‌ جزء ندارد؛ 2. خط درازاي‌ بدون‌ پهناست‌؛ 3. دو انتهاي‌ خط نقطه‌اند؛... 23. خطوط راست‌ موازي‌، خطوط راستى‌ هستند كه‌ در يك‌ صفحه‌ قرار دارند و اگر هر دو جهت‌ به‌ طور نامحدود ادامه‌ داده‌ شوند، در هيچ‌يك‌ از دو جهت‌ يكديگر را قطع‌ نخواهند كرد (اقليدس‌، .(1-2
اصول‌ موضوعه‌، يعنى‌ پايه‌هاي‌ اثبات‌ ناپذير دانش‌ هندسه‌، از اين‌ قرارند: 1. مى‌توان‌ از هر نقطه‌ به‌ نقطة ديگر، خط راستى‌ رسم‌ كرد؛ 2. مى‌توان‌ هر خط راست‌ متناهى‌ را به‌ شكل‌ پيوسته‌ امتداد داد؛ 3. مى‌توان‌ به‌ هر مركز و با هر شعاع‌ دايره‌اي‌ رسم‌ كرد؛ 4. همة زواياي‌ قائمه‌ با يكديگر برابرند؛ 5. هرگاه‌ خط راستى‌ دو خط راست‌ ديگر را قطع‌ كند، به‌ طوري‌ كه‌ در يك‌ سوي‌ آن‌ خط، دو زاوية درونى‌ كه‌ مجموع‌ آنها كوچك‌تر از دو قائمه‌ باشد، تشكيل‌ شود، آن‌ دو خط اگر امتداد يابند، در همان‌ سو يكديگر را قطع‌ خواهند كرد (همو، .(2
اصول‌ متعارفه‌، يعنى‌ احكامى‌ كه‌ هر ذهن‌ معقول‌ آنها را درست‌ و بى‌نياز از اثبات‌ مى‌يابد، و برخلاف‌ اصول‌ موضوعه‌، منحصر به‌ هندسه‌ نيستند و در همة علوم‌ استدلالى‌ معتبرند، از اين‌ قرارند: 1. چيزهايى‌ كه‌ با چيز ديگر برابر باشند، با يكديگر نيز برابرند؛ 2. اگر چيزهاي‌ برابر به‌ چيزهاي‌ برابر افزوده‌ شوند، مجموعها برابر خواهند بود؛ 3. اگر چيزهاي‌ برابر از چيزهاي‌ برابر كاسته‌ شوند، حاصلها برابر خواهند بود؛ 4. چيزهايى‌ كه‌ بر يكديگر منطبق‌ شوند، با يكديگر برابرند؛ 5. كل‌ از جزء بزرگ‌تر است‌.
در برخى‌ نسخه‌هاي‌ اين‌ اثر، شمار اصول‌ متعارفه‌ 9 است‌، اما پژوهشگران‌ به‌ حق‌، 4 اصل‌ از آنها را الحاقى‌ شمرده‌اند. از سوي‌ ديگر در برخى‌ نسخ‌ نيز اصول‌ موضوعة 4 و 5 در شمار اصول‌ متعارفه‌ درآمده‌اند. همچنين‌ از آنجا كه‌ تعريف‌ شمارة 23، پاية نظرية توازي‌ را در بردارد، تنى‌ چند از رياضى‌دانان‌ اين‌ تعريف‌ را نيز به‌ اصول‌ متعارفه‌ الحاق‌ كرده‌اند. نتيجه‌ آنكه‌ در برخى‌ مآخذ شمار اصول‌ متعارفه‌ به‌ 11 و 12 رسيده‌ است‌ (همانجا؛ كانتور، ؛ I/277 پاولى‌، .(VI(1)/1016
در دوران‌ كنونى‌ در بسياري‌ از كتابهاي‌ تاريخ‌ رياضيات‌، تعريفات‌ اقليدس‌ را ضعيف‌ترين‌ بخش‌ اصول‌ مى‌شمارند. گفته‌ مى‌شود كه‌ آنچه‌ اقليدس‌ در اين‌ زمينه‌ مطرح‌ ساخته‌، و از جمله‌ آنچه‌ در تعريف‌ نقطه‌ و خط و توازي‌ خطوط گفته‌ است‌، يا از ديدگاه‌ منطق‌ رياضى‌، يا از نظر منطق‌ صوري‌ و يا هر دو، تعريفات‌ واقعى‌ به‌ شمار نمى‌روند. اينگونه‌ داوريها را نمى‌توان‌ به‌ طور كامل‌ پذيرفت‌؛ نخست‌ از آن‌ رو كه‌ توضيح‌ و تعريف‌ مقولاتى‌ كه‌ در هر زمينه‌ مورد بررسى‌ قرار مى‌گيرند، حتى‌ اگر از ديدگاه‌ منطق‌ رياضى‌ زائد به‌ شمار روند، از ديدگاه‌ آموزشى‌ ضروريند. از سوي‌ ديگر، كاملاً آشكار است‌ كه‌ اقليدس‌ در اين‌ تعريفات‌، ديدگاههاي‌ رياضى‌دانان‌ پيشين‌ را نيز در نظر داشته‌ است‌. جالب‌ توجه‌ است‌ كه‌ وي‌، پس‌ از تعريف‌ نقطه‌ به‌ عنوان‌ «آنچه‌ هيچ‌ جزء ندارد»، بار ديگر در تعريف‌ 3 آن‌ را به‌ عنوان‌ «دو انتهاي‌ يك‌ خط» مى‌شناساند. در تعريف‌ دوم‌، گذشته‌ از آنكه‌ ارتباط نقطه‌ و خط مطرح‌ گرديده‌، در عين‌ حال‌، از تعريف‌ كهن‌تري‌ استفاده‌ شده‌ است‌ كه‌ ارسطو آن‌ را به‌ عنوان‌ يك‌ تعريف‌ غير علمى‌ مردود شمرده‌ بود. عين‌ اين‌ سخن‌ را دربارة تعريف‌ توازي‌ نيز مى‌توان‌ گفت‌ (اقليدس‌، 2 -1 ؛ پاولى‌، ؛ VI(1)/1015 «فرهنگ‌»، 433 421, ؛ IV/416, شرايبر، .(35-36
در اصول‌ موضوعه‌ ديده‌ مى‌شود كه‌ نقطه‌ و خط راست‌ و دايره‌ و زاوية قائمه‌، پايه‌هاي‌ هندسة اقليدس‌ را تشكيل‌ مى‌دهند. اصل‌ نخست‌ در عين‌ حال‌ به‌ اين‌ معنى‌ نيز هست‌ كه‌ ميان‌ دو نقطه‌، تنها يك‌ خط راست‌ مى‌توان‌ رسم‌ كرد، و اصل‌ دوم‌ به‌ اين‌ معنى‌ است‌ كه‌ هر پاره‌ خط راست‌، در هر يك‌ از دو انتها، تنها در يك‌ راستا مى‌تواند امتداد يابد. اصل‌ سوم‌، از آنجا كه‌ در آن‌ از «هر شعاع‌» سخن‌ گفته‌ شده‌، مستلزم‌ عدم‌ تناهى‌ فضاست‌. اصل‌ چهارم‌ از ديدگاه‌ رياضيات‌ امروزي‌ زائد شمرده‌ مى‌شود، زيرا برابري‌ زواياي‌ قائمه‌ قابل‌ اثبات‌ است‌، اما بايد توجه‌ كرد كه‌ اين‌ اثبات‌ تنها با فرض‌ يك‌ نواختى‌ فضا و ثابت‌ ماندن‌ زوايا در تغيير مكان‌ ممكن‌ مى‌شود. اقليدس‌ ترجيح‌ داده‌ است‌ به‌ جاي‌ توسل‌ به‌ اين‌ فرض‌، برابري‌ زواياي‌ قائمه‌ را اصل‌ موضوع‌ قرار دهد (ص‌ 2 ؛ «فرهنگ‌»، ؛ IV/415-417 شرايبر، همانجا).
اصل‌ پنجم‌ بى‌گمان‌ نشانة نبوغ‌ شگرف‌ اقليدس‌ است‌. در يونان‌ باستان‌ دربارة ضرورت‌ يا عدم‌ ضرورت‌ پذيرفتن‌ اين‌ فرض‌ كه‌ به‌ شكل‌ چشم‌گيري‌ پيچيده‌ بيان‌ شده‌ است‌، به‌ عنوان‌ اصل‌ موضوع‌ يا اصل‌ متعارف‌ (اثبات‌ ناپذير يا بى‌نياز از اثبات‌)، مناقشات‌ و مجادلات‌ بسياري‌ جريان‌ داشت‌. از دانشمندان‌ يونانى‌ گمينوس‌ و پُسيدونيوس‌ (سدة 1 ق‌م‌)، بطلميوس‌ (سدة 2م‌)، پروكلس‌ (سدة 5م‌) و سيمپليكوس‌، و در سده‌هاي‌ بعد بسياري‌ كسان‌ ديگر در جهان‌ اسلام‌، آن‌ را قابل‌ اثبات‌ و بدين‌سان‌ به‌ عنوان‌ اصل‌ موضوع‌ زائد شمردند و در اقامة برهان‌ بر آن‌ به‌ تلاشهاي‌ بسيار برخاستند. در حقيقت‌ همة آنانكه‌ خود را در اين‌ تلاش‌ كامياب‌ يافته‌اند، در جريان‌ اثبات‌ از فرضى‌ بهره‌ جسته‌اند كه‌ خود با اصل‌ پنجم‌ هم‌ ارز بوده‌ است‌. اينگونه‌ تلاشها تا سدة 19م‌ همچنان‌ ادامه‌ داشت‌. در سدة 18م‌، ساكري‌1 مسألة پيامد فرض‌ نادرستى‌ اصل‌ پنجم‌ را مطرح‌ ساخت‌. بدين‌ معنى‌ كه‌ كوشيد با فرض‌ نقيض‌ اصول‌ توازي‌ به‌ تناقضى‌ دست‌ يابد كه‌ البته‌ توفيق‌ نيافت‌؛ اما كار او در همين‌ حد متوقف‌ ماند و خود او نيز مانند ديگر رياضى‌دانان‌، هندسة اقليدس‌ را تنها هندسة ممكن‌ مى‌شمرد. سرانجام‌ درپى‌ كوششهاي‌ كارل‌ فريدريش‌ گاوس‌1، نيكلاي‌ لوباچفسكى‌2 و يانوش‌ بوليويى‌3، كار به‌ كشف‌ هندسه‌هاي‌ نااقليدسى‌ انجاميد. بدين‌سان‌، ماهيت‌ اصل‌ پنجم‌ به‌ عنوان‌ فرضى‌ اثبات‌ ناپذير (نه‌ بى‌نياز از اثبات‌) كه‌ در نوعى‌ از فضا (فضاي‌ اقليدسى‌) صادق‌ است‌، آشكار گرديد. برخى‌ از پژوهشگران‌ از اين‌ احتمال‌ نيز سخن‌ گفته‌اند كه‌ رياضى‌دانان‌ يونانى‌ نيز به‌ امكان‌ منطقى‌ هندسة نااقليدسى‌ پى‌برده‌ بوده‌اند و اقليدس‌ با فرض‌ اصل‌ پنجم‌، آگاهانه‌ يكى‌ از دو نظرية هندسى‌ منطقاً ممكن‌ را برگزيده‌ است‌ و اين‌ خود يكى‌ از نشانه‌هاي‌ نبوغ‌ اوست‌ (اقليدس‌، همانجا؛ خيام‌، 6؛ نصيرالدين‌، تحرير الاصول‌، 4، 16-22؛ كانتور، ؛ I/277-278 «فرهنگ‌»، 424, IV/417, ؛ V/346 شرايبر، 72 .(20,35,
گزاره‌هاي‌ كتاب‌ اول‌ با چگونگى‌ رسم‌ يك‌ مثلث‌ متساوي‌الاضلاع‌ بر روي‌ يك‌ پاره‌خط آغاز مى‌شود. گزارة ما قبل‌ آخر آن‌ گزارة فيثاغورس‌ است‌ كه‌ يكى‌ از جالب‌ترين‌ مسائل‌ هندسه‌ به‌ شمار مى‌رود و طى‌ آن‌ ثابت‌ مى‌شود كه‌ در مثلث‌ قائم‌الزاويه‌، مربع‌ وتر برابر مجموع‌ مربعات‌ دو ضلع‌ ديگر است‌ (اقليدس‌، .(2-29 كتاب‌ دوم‌ در زمينة جبر هندسى‌ است‌ و در آن‌ شماري‌ مسائل‌ هندسى‌ كه‌ با معادلات‌ جبري‌ درجه‌ دو هم‌ ارزند، حل‌ مى‌شوند. در گزارة 13 ثابت‌ مى‌شود كه‌ در هر مثلث‌ با اضلاع‌ a و b و c رابطة A cos b2 c - 2 c+ 2 b= 2 aA) = زاوية روبه‌روي‌ ضلع‌ برقرار است‌. اين‌ رابطه‌ در حقيقت‌ تعميم‌ گزارة فيثاغورس‌ است‌ (همو، .(30-40
در كتاب‌ سوم‌، دايره‌ها و نقاط تقاطع‌ و تماس‌ آنها با يكديگر و خطوط قاطع‌ و مماس‌ و زواياي‌ مربوط به‌ آنها مطرح‌ مى‌شوند (همو، .(41-66 در كتاب‌ چهارم‌ گزاره‌ها و مسائل‌ مربوط به‌ رسم‌ مثلث‌، مربع‌، 5 ضلعى‌، 6 ضلعى‌ و 15 ضلعى‌ منتظم‌ محاطى‌ و محيطى‌ اثبات‌ و حل‌ مى‌شوند (همو، .(67-80 در كتاب‌ پنجم‌، گزاره‌هاي‌ مربوط به‌ نظرية تناسب‌ ائودوكسوس‌، به‌ كمك‌ اشكال‌ هندسى‌ ثابت‌ مى‌شوند. رياضى‌دانان‌ تعريفهاي‌ اين‌ كتاب‌ را جالب‌ يافته‌، و دربارة آنها بحث‌ بسيار كرده‌اند. شايان‌ ذكر است‌ كه‌ تعريف‌ نسبتهاي‌ برابر c d = a b و نابرابر c d > a b در مورد كميتهاي‌ هم‌ نوع‌ از سوي‌ ائودوكسوس‌، از بزرگ‌ترين‌ دستاوردهاي‌ رياضيات‌ پيش‌ از اقليدس‌ بوده‌ است‌ و كاربرد آن‌ از سوي‌ اقليدس‌ تحولى‌ جهش‌وار به‌ شمار مى‌رود. وي‌ در تعريف‌ 3 گويد: «نسبت‌، رابطة معينى‌ است‌ ميان‌ اندازه‌هاي‌ دو كميت‌ هم‌ نوع‌»، اما «رابطة معين‌» مبهم‌ و قابل‌ چندگونه‌ تأويل‌ است‌؛ پس‌ آن‌ بيان‌ در واقع‌ تعريف‌ مقولة نسبت‌ نيست‌ و اقليدس‌ نيز در اين‌ كتاب‌ به‌ شكل‌ مستقيم‌ از آن‌ استفاده‌ نكرده‌ است‌. در تعريف‌ 4 اندكى‌ به‌ مقصود نزديك‌تر مى‌شود: «هنگامى‌ كه‌ دو كميت‌ در صورت‌ چند برابر شدن‌ بتوانند از يكديگر فراتر روند، مى‌گوييم‌ آن‌ دو با يكديگر نسبتى‌ دارند». آنچه‌ حيرت‌آور است‌، اين‌ است‌ كه‌ اين‌ تعريف‌ كميتهاي‌ بى‌نهايت‌ كوچك‌ و بى‌نهايت‌ بزرگ‌ را در بر نمى‌گيرد و به‌ دشواري‌ مى‌توان‌ تصور كرد كه‌ مقصود اقليدس‌ (يا ائودوكسوس‌) نيز همين‌ بوده‌ باشد؛ در عين‌ حال‌ كسانى‌ نيز اين‌ فرض‌ را بعيد نشمرده‌اند (اقليدس‌، 81 ؛ «فرهنگ‌»، ؛ IV/419 شرايبر، 46 .(16, تعريف‌ 5 از همه‌ جالب‌تر است‌: «در صورتى‌ گفته‌ مى‌شود كميتها با يكديگر بر يك‌ نسبتند، [مثلاً] نخستين‌ نسبت‌ به‌ دومين‌، و سومين‌ نسبت‌ به‌ چهارمين‌ كه‌ هرگونه‌ مضرب‌ برابر از اولى‌ و سومى‌، و هرگونه‌ مضرب‌ برابر از دومى‌ و چهارمى‌ در نظر گرفته‌ شوند، مضربهاي‌ دو كميت‌ نخستين‌ (اولى‌ و سومى‌) به‌ ترتيب‌ از مضربهاي‌ دو كميت‌ آخري‌ (دومى‌ و چهارمى‌) به‌ طور همسان‌ بزرگ‌تر، برابر يا كوچك‌تر باشند». دربارة اين‌ تعريف‌ سخنان‌ بسيار گفته‌، و توضيحات‌ فراوان‌ عرضه‌ كرده‌اند. حتى‌ گفته‌ مى‌شود كه‌ در تاريخ‌ رياضيات‌ آزمون‌ ديگري‌ كه‌ به‌ اندازة آن‌ رضايت‌ بخش‌ باشد، عرضه‌ نشده‌ است‌ (اقليدس‌، همانجا؛ پاولى‌، ؛ VI(1)/1022-1023 «فرهنگ‌»، همانجا).
در كتاب‌ 6 از گزاره‌هايى‌ كه‌ در كتاب‌ 5 به‌ اثبات‌ رسيده‌اند، براي‌ حل‌ مسائل‌ مربوط به‌ اشكال‌ هندسى‌ متشابه‌ استفاده‌ مى‌شود. در گزارة يكم‌ ثابت‌ مى‌شود كه‌ نسبت‌ مساحت‌ مثلثها و متوازي‌الاضلاعهايى‌ كه‌ ارتفاع‌ برابر داشته‌ باشند، به‌ يكديگر، برابر نسبت‌ قاعده‌هاي‌ آنهاست‌. در گزاره‌هاي‌ 9-13، مسائلى‌ مانند تقسيم‌ خطوط به‌ نسبتهاي‌ معين‌، تعيين‌ مقدار مجهول‌ در معادلاتى‌ همچون‌ b x = a b و c x = a b و x b = a x (واسطة هندسى‌) حل‌ مى‌شوند (همة اين‌ كميتها به‌ شكل‌ پاره‌ خط نمايش‌ داده‌ شده‌اند). گزارة 27، به‌ گفتة كانتور، كهن‌ترين‌ مورد به‌ جا ماندة محاسبة ماكزيمم‌ در تاريخ‌ رياضيات‌ است‌. در اين‌ گزاره‌ ثابت‌ مى‌شود جملة x(a-x) به‌ ازاي‌ a 2 = x بزرگ‌ترين‌ مقدار ممكن‌ را خواهد داشت‌ (اقليدس‌، 125-126 ,100 -99 ؛ كانتور، ؛ I/266 پاولى‌، .(VI(1)/1026-1027
كتابهاي‌ 7-9 به‌ دانش‌ حساب‌ و نظرية اعداد اختصاص‌ يافته‌اند. ارتباط تنگاتنگ‌ ميان‌ اين‌ بخشهاي‌ اصول‌، اقليدس‌ را بر آن‌ داشته‌ است‌ كه‌ تعريفات‌ مربوط به‌ مسائل‌ طرح‌ شده‌ در آنها را يكجا در مقدمة كتاب‌ 7 بياورد. در اين‌ كتابها، مسائلى‌ مانند بخش‌پذيري‌ اعداد، يافتن‌ كوچك‌ترين‌ مضرب‌ مشترك‌، بزرگ‌ترين‌ مقسوم‌عليه‌ مشترك‌، نسبت‌ ميان‌ اعداد، تصاعد هندسى‌ و اعداد اول‌، مطرح‌ مى‌شوند. در گزارة 12 كتاب‌ 9، شايد براي‌ نخستين‌ بار در تاريخ‌ رياضيات‌ از برهان‌ خلف‌ استفاده‌ شده‌ است‌. در گزارة 20 همين‌ كتاب‌، ثابت‌ مى‌شود كه‌ شمار اعداد اول‌ بى‌نهايت‌ است‌ (اقليدس‌، 190 -127 ؛ كانتور، ؛ I/268 پاولى‌، ؛ VI(1)/1028-1029 شرايبر، .(41 در كتاب‌ 10 اعداد گنگ‌ و ريشة دوم‌ آنها بررسى‌ مى‌شوند. بسياري‌ از رياضى‌دانان‌، اين‌ كتاب‌ را جالب‌ توجه‌ترين‌ بخش‌ اصول‌ شمرده‌اند (اقليدس‌، 300 -191 ؛ پاولى‌، ؛ VI(1)/1030-1033 ايوز، .(120
كتابهاي‌ 11-13 به‌ هندسة فضايى‌ اختصاص‌ يافته‌اند، و از آنجا كه‌ مسائل‌ مطروحه‌ در اين‌ 3 كتاب‌ نيز با يكديگر ارتباط تنگاتنگ‌ دارند، همة تعريفات‌ مربوط به‌ آنها در آغاز كتاب‌ 11 آمده‌ است‌. در كتاب‌ 11 نخست‌ مسائل‌ مربوط به‌ صفحات‌ و خطوط موازي‌ و عمود بر يكديگر بررسى‌ مى‌گردد و سپس‌ به‌ اجسام‌ متوازي‌ السطوح‌ پرداخته‌ مى‌شود. در آخرين‌ گزارة اين‌ كتاب‌ مسأله‌اي‌ مربوط به‌ تساوي‌ دو منشور مطرح‌ مى‌شود (اقليدس‌، .(301-337 در كتاب‌ 12 مسائل‌ مربوط به‌ هرم‌، منشور، مخروط، استوانه‌ و كره‌ و محاسبة سطح‌ و حجم‌ آنها بحث‌ مى‌شود (همو، 368 -338 ؛ كانتور، ؛ I/271 پاولى‌، .(VI(1)/1034
در كتاب‌ 13 از 5 چند وجهى‌ منتظم‌، يعنى‌ 4 وجهى‌ (هرم‌)، 6 وجهى‌ (مكعب‌)، 8 وجهى‌، 12 وجهى‌ و 20 وجهى‌ سخن‌ گفته‌ مى‌شود و در پايان‌ تأكيد مى‌گردد كه‌ جز اينها، چند وجهى‌ منتظم‌ ديگري‌ وجود ندارد (اقليدس‌، 396 -369 ؛ نيز نك: كانتور، ؛ I/273 پاولى‌، .(VI(1)/1035
شايان‌ ذكر است‌ كه‌ مطالب‌ كتابهاي‌ 1-4 و 7-9 و 11 در سده‌هاي‌ 6 و 5 ق‌م‌ نيز شناخته‌ شده‌ بوده‌، و به‌ طور عمده‌ از فيثاغورس‌ و حكماي‌ طبيعى‌ برگرفته‌ شده‌ است‌. مطالب‌ كتابهاي‌ 5 و 12 به‌ ائودوكسوس‌ باز مى‌گردد و مطالب‌ كتابهاي‌ 10 و 13 از ثئايتتوس‌ برگرفته‌ شده‌ است‌. سابقة مطالب‌ كتاب‌ 6 در تاريخ‌ رياضيات‌ يونان‌ روشن‌ نيست‌ (كانتور، ؛ I/261-275 «فرهنگ‌»، ؛ IV/417-423 شرايبر، .(34
در جهان‌ اسلام‌ توجه‌ به‌ اصول‌ هندسة اقليدس‌ از سدة 2ق‌ آغاز شد. برپاية يك‌ گزارش‌، در دوران‌ منصور عباسى‌ و به‌ سفارش‌ وي‌، امپراتور بيزانس‌ نسخه‌اي‌ از اين‌ اثر را به‌ بغداد فرستاد (ابن‌ خلدون‌، 444). ترجمة اين‌ اثر، به‌ ويژه‌ در آن‌ دوران‌ كه‌ مترجمان‌ در كار خويش‌ ورزيدگى‌ چندانى‌ نداشتند، بسيار دشوار بود و گرچه‌ ابن‌ خلدون‌ (ص‌ 448) از ترجمة آن‌ در همان‌ روزگار خبر مى‌دهد، در منابع‌ ديگر ذكري‌ از آن‌ نيست‌؛ اما مسلم‌ است‌ كه‌ حجاج‌ بن‌ يوسف‌ بن‌ مطر در دوران‌ هارون‌الرشيد ترجمه‌اي‌ از آن‌ فراهم‌ ساخته‌ است‌. به‌ نظر مى‌رسد اين‌ ترجمه‌ - كه‌ هارونى‌ ناميده‌ مى‌شد - چندان‌ دلپسند نبوده‌ است‌. پس‌ حجاج‌ در روزگار مأمون‌ يك‌ بار ديگر به‌ تصحيح‌ و تهذيب‌ و اختصار آن‌ پرداخت‌، و اين‌ ترجمة دوم‌ - كه‌ مأمونى‌ خوانده‌ شد - تا مدتى‌ مورد توجه‌ بود، به‌ طوري‌ كه‌ ترجمة هارونى‌ به‌ فراموشى‌ سپرده‌ شد، و ظاهراً از همين‌رو، نسخه‌اي‌ از آن‌ بر جاي‌ نمانده‌ است‌؛ اما از ترجمة دوم‌ حجاج‌، كتابهاي‌ 1-6 و 11-13 در دست‌ است‌ و از ترجمة كتابهاي‌ 1-6 نسخه‌اي‌ در ليدن‌ موجود است‌. بخشهايى‌ از اين‌ متن‌ عربى‌، همراه‌ با ترجمة لاتين‌ آن‌ به‌ چاپ‌ هم‌ رسيده‌ است‌ (نيريزي‌، 4؛ ابن‌ نديم‌، 325- 326؛ قفطى‌، 62 -64؛ پاولى‌، ؛ VI(1)/1011 «فرهنگ‌»، .(IV/438
در اين‌ دوران‌، فن‌ ترجمه‌ به‌ سرعت‌ در كار پيشرفت‌ بود و دو سه‌ دهه‌ ديرتر ترجمة مأمونى‌ نيز خاطر طالبان‌ اصول‌ را خشنود نمى‌ساخت‌. در نتيجه‌، اسحاق‌ بن‌ حنين‌، ظاهراً در دوران‌ متوكل‌، سومين‌ ترجمة اين‌ اثر را فراهم‌ ساخت‌ و اين‌ ترجمه‌ به‌ دست‌ ثابت‌ بن‌ قره‌ ويراسته‌ شده‌ كه‌ نسخه‌هاي‌ متعددي‌ از آن‌ در دست‌ است‌. دربارة يك‌ ترجمة مستقل‌ از ثابت‌ بن‌ قره‌ نيز گزارشهايى‌ رسيده‌ است‌، هرچند نسخه‌اي‌ از آن‌ بر جا نمانده‌ است‌. ابوعثمان‌ دمشقى‌ نيز شماري‌ از مقالات‌ آن‌، همچنين‌ شرح‌ پاپوس‌ بر كتاب‌ (مقالة) دهم‌ را به‌ عربى‌ درآورد. نيريزي‌ بر شرح‌ اهرن‌ اسكندرانى‌ بر اين‌ اثر، شرح‌ ديگري‌ نوشت‌ كه‌ بر جا مانده‌ است‌، و اصولاً سرچشمة آگاهى‌ ما از شرح‌ اهرن‌، همين‌ شرح‌ نيريزي‌ است‌. از شرح‌ نيريزي‌ اين‌ آگاهى‌ نيز به‌ دست‌ مى‌آيد كه‌ شرح‌ اهرن‌، كتابهاي‌ 1- 8 را در بر مى‌گرفته‌ است‌ و نيز پروكلس‌ در شرح‌ خود بر كتاب‌ اول‌ اصول‌، بى‌آنكه‌ از اهرن‌ نام‌ ببرد، براهين‌ بسياري‌ مسائل‌ را از وي‌ برگرفته‌ است‌. نيريزي‌ بر ترجمة دوم‌ حجاج‌ نيز شرحى‌ نوشت‌ و در هر بخش‌ مطالبى‌ از ديگر رياضى‌دانان‌ و شارحان‌ كتاب‌ اصول‌ بر آن‌ افزود. اين‌ شرح‌ در سدة 12م‌ به‌ زبان‌ لاتين‌ ترجمه‌ شد. نظيف‌ بن‌ يمن‌ كه‌ نسخه‌اي‌ از كتاب‌ 10 را - كه‌ شامل‌ 149 گزاره‌ بود - در اختيار داشت‌، آن‌ را به‌ عربى‌ درآورد. اكنون‌ نسخه‌اي‌ از ترجمة وي‌ در پاريس‌ نگهداري‌ مى‌شود. جالب‌ توجه‌ است‌ كه‌ نسخ‌ متداول‌ كتاب‌ 10 در آن‌ روزگار، شامل‌ 109 گزاره‌ بوده‌، و آنچه‌ اكنون‌ در دست‌ است‌ نيز، بيش‌ از 115 گزاره‌ در بر ندارد (نيريزي‌، 4، 6؛ ابن‌ نديم‌، قفطى‌، همانجاها؛ اشتاين‌ اشنايدر، 166 ؛ زوتر،68 ؛ پاولى‌، IV/438-439,ٹأï÷û¤êؤاVI(1)/1011ٹ1036-1037 441 ؛ شرايبر، همانجا).
افزون‌ بر اين‌ ترجمه‌ها، دانشمندان‌ جهان‌ اسلام‌ براي‌ رفع‌ كاستيها و نادرستيهاي‌ متون‌ ترجمه‌ شده‌ و آسان‌تر ساختن‌ استفاده‌ از اين‌ اثر به‌ عنوان‌ يك‌ كتاب‌ درسى‌ به‌ كوششهاي‌ بسيار برخاستند و تلخيصها و تحريرهاي‌ بسياري‌ از آن‌ فراهم‌ آوردند. همچنين‌ سلسله‌ آثاري‌ در توضيح‌ و تبيين‌ دشواريهاي‌ كتاب‌ اصول‌ در جهان‌ اسلام‌ نوشته‌ شد. شمار اين‌ آثار كه‌ نام‌ آنها در منابع‌ آمده‌ است‌، نزديك‌ به‌ 100 است‌ كه‌ در حدود نيمى‌ از آنها در دست‌ است‌. در اين‌ مقاله‌ به‌ بخشى‌ از اينگونه‌ نوشته‌ها اشاره‌ مى‌شود:
ثابت‌ بن‌ قره‌، افزون‌ بر ويرايش‌ ترجمة اسحاق‌ و بررسيهاي‌ ديگر دربارة همين‌ اثر، دو رساله‌ در اثبات‌ اصل‌ توازي‌ نوشت‌. وي‌ همچنين‌ رساله‌اي‌ دربارة علت‌ ترتيب‌ ويژة اصول‌ اقليدس‌ تأليف‌ كرد. نيريزي‌ نيز رساله‌اي‌ در اثبات‌ همين‌ اصل‌ نوشت‌ كه‌ نسخه‌اي‌ از آن‌ در دست‌ است‌ (قفطى‌، 116-117؛ روزنفلد، 58 - 74؛ 284-285 V/105-106, ؛ GAS, زوتر، .(45 احمد كرابيسى‌ بخشهايى‌ از اصول‌، ماهانى‌ كتابهاي‌ 5 و 10، و جوهري‌ همة آن‌ را شرح‌ كرد. از شرح‌ كرابيسى‌ چيزي‌ بر جاي‌ نمانده‌، اما از شرح‌ ماهانى‌ بخشهايى‌ در دست‌ است‌ و نصيرالدين‌ طوسى‌ ( الشافية...، 17-26) بخشهايى‌ از شرح‌ جوهري‌ را نقل‌ كرده‌ است‌. ابوجعفر خازن‌ مقاله‌اي‌ در اثبات‌ اصل‌ پنجم‌ نوشت‌. وي‌ همچنين‌ شرحى‌ بر تعريفات‌ كتاب‌ 10، با عنوان‌ تفسير صدرالمقالة العاشرة من‌ كتاب‌ اقليدس‌ نوشته‌ كه‌ نسخه‌هايى‌ از آن‌ بر جا مانده‌ است‌. بوزجانى‌ نيز بر اين‌ اثر شرحى‌ نوشته‌ كه‌ به‌ تصريح‌ ابن‌ نديم‌، آن‌ را به‌ پايان‌ نبرده‌، و اثري‌ هم‌ از آن‌ به‌ جا نمانده‌ است‌. ابن‌ راهوية ارجانى‌ و ابويوسف‌ رازي‌ و احمد بن‌ حسين‌ اهوازي‌ كتاب‌ 10، و ابوالقاسم‌ انطاكى‌ و سند بن‌ على‌ همة اصول‌ را شرح‌ كردند و شرح‌ انطاكى‌ بر كتابهاي‌ 5 -13 در دست‌ است‌. ابن‌ هيثم‌ شرحى‌ دربارة اصول‌ موضوعه‌ (كتاب‌ اول‌) و نيز شرحى‌ دربارة دشواريهاي‌ اين‌ اثر با عنوان‌ حل‌ شكوك‌ كتاب‌ اقليدس‌ فى‌ الاصول‌ نوشت‌. از شرح‌ اخير چند نسخه‌ بر جا مانده‌ است‌ و يك‌ چاپ‌ تصويري‌ آن‌ نيز منتشر شده‌ است‌. وي‌ در اين‌ اثر به‌ جاي‌ اصل‌ پنجم‌ كتاب‌ اول‌، اصل‌ ديگري‌ هم‌ارز با آن‌ قرار داده‌ است‌ (ابن‌ نديم‌، 325-326؛ ابن‌ هيثم‌، 25-27؛ خيام‌، 6؛ قفطى‌، 62 - 65؛ اشتاين‌ اشنايدر، 168 -166 ؛ زوتر، 68 66, 64, 58, 26-27, 17, ,12 ؛ قربانى‌، 63 -67؛ روزنفلد، 49-57، 60 -64).
قسطابن‌ لوقا در توضيح‌ دشواريهاي‌ اصول‌، اثري‌ با عنوان‌ شكوك‌ كتاب‌ اقليدس‌، و نيز شرحى‌ دربارة كتاب‌ سوم‌ نوشت‌. فارابى‌ شرحى‌ دربارة تعريفات‌ كتابهاي‌ اول‌ و پنجم‌ نوشت‌. اصل‌ عربى‌ اين‌ شرح‌ از ميان‌ رفته‌، اما ترجمة عبري‌ آن‌ برجاي‌ مانده‌ است‌. ابوسهل‌ كوهى‌ تحرير ديگري‌ از اصول‌ فراهم‌ آورد. از مقالات‌ اول‌ و دوم‌ اين‌ تحرير نسخه‌اي‌ در قاهره‌ موجود است‌. احمد بن‌ حسين‌ اهوازي‌ كتاب‌ دهم‌ را شرح‌ كرد كه‌ نسخه‌هايى‌ از آن‌ در پاريس‌ و برلن‌ نگهداري‌ مى‌شود. ابوسعيد سجزي‌ بر برخى‌ گزاره‌هاي‌ اصول‌ براهين‌ تازه‌ عرضه‌ كرد. ابن‌ سينا در كتاب‌ شفا تلخيصى‌ از 13 كتاب‌ اصول‌ و نيز دو كتاب‌ الحاق‌ شده‌ به‌ آن‌ به‌ دست‌ داد. جيانى‌ كتاب‌ پنجم‌ را شرح‌ كرد. بيرونى‌ در مقاله‌اي‌ به‌ بررسى‌ اصل‌ توازي‌ پرداخت‌. خيام‌ رسالة فى‌ شرح‌ ما اشكل‌ من‌ مصادرات‌ اقليدس‌ را دربارة اصل‌ توازي‌ و مسائل‌ مربوط به‌ نسبتها نوشت‌؛ اين‌ اثر چند بار به‌ چاپ‌ رسيده‌ است‌. جالب‌ توجه‌ است‌ كه‌ وي‌ با اشاره‌ به‌ كوششهاي‌ «خازن‌، شَنّى‌، نيريزي‌ و ديگران‌» در اثبات‌ اصل‌ توازي‌ گويد: «هيچ‌ يك‌ از ايشان‌ نتوانسته‌ است‌ برهان‌ درستى‌ بر اين‌ موضوع‌ بياورد، بلكه‌ هر يك‌ از ايشان‌ به‌ فرضى‌ متوسل‌ شده‌ است‌ كه‌ اثبات‌ درستى‌ آن‌ از اثبات‌ همين‌ اصل‌ آسان‌تر نيست‌». آنگاه‌ خيام‌ طى‌ 8 گزاره‌ از ديدگاه‌ خود به‌ اثبات‌ اصل‌ توازي‌ مى‌پردازد (ص‌ 6، 13- 35).
ابن‌ رشد رساله‌اي‌ دربارة آنچه‌ از اصول‌ اقليدس‌ براي‌ درك‌ مجسطى‌ بطلميوس‌ لازم‌ است‌، تأليف‌ كرد. مظفر اسفزاري‌ اختصار اصول‌ اقليدس‌ را نوشت‌. حسام‌الدين‌ سالار رساله‌اي‌ در اثبات‌ اصل‌ توازي‌ تأليف‌ كرد كه‌ نسخه‌اي‌ از آن‌ بر جا مانده‌ است‌. جابربن‌ افلح‌ اصول‌ را شرح‌ كرد كه‌ ترجمة عبري‌ بخشهايى‌ از آن‌ در دست‌ است‌. اثيرالدين‌ ابهري‌، كتاب‌ مفصل‌ اصلاح‌ اصول‌ اقليدس‌ را نوشت‌ و در آن‌ از جمله‌ به‌ اقامة برهان‌ بر اصل‌ توازي‌ پرداخت‌. نصيرالدين‌ طوسى‌ مشهورترين‌ تحرير را از اين‌ اثر فراهم‌ آورد. وي‌ براي‌ تهية اين‌ تحرير ترجمة حجاج‌ بن‌ يوسف‌ و نيز ترجمة اسحاق‌ بن‌ حنين‌ (با ويرايش‌ ثابت‌ ابن‌ قره‌) را مورد استفاده‌ قرار داده‌ است‌. اين‌ تحرير چندبار و از جمله‌ در 1298ق‌ در تهران‌ به‌ چاپ‌ رسيده‌ است‌. تحرير نصيرالدين‌ طوسى‌ به‌ فارسى‌ نيز ترجمه‌ شده‌ است‌؛ برخى‌ رياضى‌دانان‌ بر اين‌ تحرير شرح‌ نوشته‌اند. تحرير ديگري‌ از اين‌ اثر كه‌ از نظر تاريخ‌ رياضيات‌ اهميت‌ بسيار دارد، و متن‌ عربى‌ و ترجمة لاتينى‌ آن‌ در سالهاي‌ 1594 و 1657م‌ در رم‌ به‌ چاپ‌ رسيده‌، اشتباهاً به‌ نصيرالدين‌ طوسى‌ نسبت‌ داده‌ شده‌ است‌. نصيرالدين‌ طوسى‌ همچنين‌ رساله‌اي‌ در اثبات‌ اصل‌ توازي‌ با عنوان‌ الشافية عن‌ الشك‌ فى‌ الخطوط المتوازيه‌ دارد كه‌ در 1359ق‌ در حيدرآباد دكن‌ به‌ چاپ‌ رسيده‌ است‌. وي‌ در اين‌ رساله‌، نخست‌ با ذكر براهين‌ جوهري‌، ابن‌ هيثم‌ و خيام‌، نشان‌ مى‌دهد كه‌ آنان‌ در جريان‌ اثبات‌ از اصل‌ ديگري‌ كه‌ با اصل‌ توازي‌ هم‌ارز بوده‌ است‌، استفاده‌ كرده‌اند و آنگاه‌ به‌ عرضة استدلال‌ خود مى‌پردازد. محيى‌الدين‌ مغربى‌ تحرير اصول‌ اقليدس‌ فى‌ الاشكال‌ الهندسيه‌ را تأليف‌ كرد كه‌ مقدمة آن‌ به‌ مقدمة تحرير منسوب‌ به‌ نصيرالدين‌ طوسى‌ شباهت‌ بسيار دارد. وي‌ نيز در اين‌ تحرير به‌ اثبات‌ اصل‌ توازي‌ كوشيده‌ است‌. از اين‌ اثر نسخه‌هايى‌ بر جا مانده‌ است‌. محيى‌الدين‌ همچنين‌ تلخيص‌ الاصول‌ را نوشت‌ كه‌ از آن‌ نيز نسخه‌اي‌ در دست‌ است‌. چنانكه‌ اشاره‌ شد، فهرست‌ اينگونه‌ آثار بسيار مفصل‌تر از اينهاست‌ (ابن‌ نديم‌، 353؛ ابن‌ سينا، 16-430؛ نصيرالدين‌، «تحرير المعطيات‌»، 2، الشافية، 4-26؛ اشتاين‌ اشنايدر، 176 -167 ؛ زوتر، 150 75, ,41 ؛ ، GAS همانجاها؛ نيز نك: ه د، ابن‌ سينا، اثيرالدين‌ ابهري‌، اسفزاري‌).
2. «داده‌ها». محتواي‌ اين‌ اثر با مضامين‌ كتابهاي‌ 1-6 اصول‌ ارتباط دارد و در مجموع‌ شامل‌ 94 گزاره‌ است‌ كه‌ بيشتر آنها به‌ اين‌ صورت‌ بيان‌ مى‌شود: هرگاه‌ اندازه‌ها با ويژگيهاي‌ معينى‌ از يك‌ شكل‌ هندسى‌ داده‌ شده‌ باشند، اندازه‌ها يا ويژگيهاي‌ ديگري‌ مربوط به‌ آن‌ شكل‌، يا شكل‌ ديگري‌ كه‌ پيوندي‌ با آن‌ داشته‌ باشد نيز داده‌ شده‌اند. مثلاً در گزارة 28 گفته‌ مى‌شود: وقتى‌ نقطة P و خط L داده‌ شده‌ باشند، خطى‌ كه‌ از P بگذرد و با L موازي‌ باشد نيز داده‌ شده‌ است‌. در گزارة 39 گفته‌ مى‌شود: هرگاه‌ اندازه‌هاي‌ 3 ضلع‌ يك‌ مثلث‌ داده‌ شده‌ باشند، آن‌ مثلث‌ مشخص‌ شده‌است‌ (نصيرالدين‌، تحريرالاصول‌، 13،16-17؛كانتور، ؛ I/282-283 پاولى‌، ؛ VI(1)/1043-1045 ؛ IV/425ŠÃï÷û¤êÄ شرايبر، 58-59 .(55, اسحاق‌ بن‌ حنين‌ اين‌ اثر را با عنوان‌ كتاب‌ المعطيات‌ به‌ زبان‌ عربى‌ ترجمه‌ كرد و ثابت‌ بن‌ قره‌ آن‌ را ويراست‌. نصيرالدين‌ طوسى‌ تحرير ديگري‌ از آن‌ فراهم‌ آورد كه‌ در 1358ق‌ در حيدرآباد دكن‌ منتشر شد (نصيرالدين‌، «تحرير المعطيات‌»، همانجا؛ V/116 .(GAS,
3. «تقسيم‌ اشكال‌». نسخة يونانى‌ اين‌ اثر از ميان‌ رفته‌، و تنها بخشهايى‌ از ترجمة عربى‌ آن‌، با عنوان‌ كتاب‌ القسمة بر جا مانده‌ است‌ كه‌ صورتهاي‌ 36 گزارة آن‌ و اثبات‌ كامل‌ 4 گزاره‌ از آن‌ ميان‌ را در بردارد. اين‌ نسخة عربى‌ را فرانتس‌ وُپكه‌ يافت‌ و در 1851م‌ منتشر كرد. استدلالهاي‌ مربوط به‌ 32 گزارة ديگر را مى‌توان‌ در كتاب‌ «كاربرد هندسه‌1» تأليف‌ لئوناردو فيبوناچى‌2 رياضى‌دان‌ سدة 13م‌ يافت‌. اينك‌ روشن‌ است‌ كه‌ فيبوناچى‌ نسخه‌اي‌ از اين‌ اثر را كه‌ اكنون‌ در دست‌ نيست‌، در اختيار داشته‌ است‌. در اين‌ اثر، مسائل‌ مربوط به‌ تقسيم‌ اشكال‌ هندسى‌ به‌ وسيلة خطوط، به‌ طوري‌ كه‌ اشكال‌ معينى‌ به‌ دست‌ آيد، يا سطح‌ شكل‌ داده‌ شده‌ به‌ نسبت‌ معينى‌ تقسيم‌ گردد، طرح‌ و حل‌ شده‌اند. مثلاً در گزارة 19، مثلث‌ ABC داده‌ شده‌ است‌ و مطلوب‌ رسم‌ خطى‌ است‌ كه‌ از نقطة D در درون‌ مثلث‌ بگذرد و سطح‌ مثلث‌ را به‌ دو نيمة برابر تقسيم‌ كند. در گزارة 29 دايره‌اي‌ داده‌ شده‌ است‌ و مطلوب‌ رسم‌ دو وتر موازي‌ با يكديگر در اين‌ دايره‌ است‌، به‌ طوري‌ كه‌ يك‌ سوم‌ سطح‌ دايره‌ را در بر گيرند (ابن‌ نديم‌، 326؛ كانتور، ؛ I/287-288 پاولى‌، ؛ VI(1)/1041 «فرهنگ‌»، ؛ IV/426 شرايبر، 63 ، .(55
4. پوريسمها1. اين‌ اثر از ميان‌ رفته‌ است‌. پاپوس‌ و پروكلس‌ بخشهايى‌ از اين‌ كتاب‌ را كه‌ شامل‌ 3 مجلد مى‌شده‌ است‌، نقل‌ كرده‌اند. واژة پوريسم‌ به‌ معناي‌ گزارة فرعى‌ است‌ و گويا اين‌ اثر محصول‌ جنبى‌ بررسيهاي‌ اقليدس‌ در مقاطع‌ مخروطى‌ بوده‌ است‌ و در بخشى‌ از آن‌، از خطوط و دواير به‌ عنوان‌ مكانهاي‌ هندسى‌ نقاطى‌ با شرايط معين‌ بحث‌ شده‌ است‌. در اين‌ كتاب‌ همچنين‌ گزاره‌هايى‌ مطرح‌ شده‌اند كه‌ در آنها شرط يا شروطى‌ كه‌ با فراهم‌ آمدن‌ آنها، مسألة معينى‌ قابل‌ حل‌ مى‌شود، بيان‌ مى‌گردند، و بدين‌سان‌، مسأله‌اي‌ كه‌ در حالت‌ عام‌ (يعنى‌ بدون‌ حصول‌ آن‌ شرايط) قابل‌ حل‌ نبوده‌، بى‌نهايت‌ پاسخ‌ خواهد داشت‌ ( پاولى‌،؛ VI(1)/1045-1046 «فرهنگ‌»، ؛ IV/426-427 ايوز، 131 ؛ شرايبر، 65-68 .(55,
5. كتابى‌ دربارة سطوحى‌ در فضا به‌ عنوان‌ مكانهاي‌ هندسى‌. اين‌ اثر بر جا نمانده‌ است‌. به‌ نوشتة پاپوس‌ در اين‌ اثر از استوانه‌ و مخروط سخن‌ گفته‌ شده‌ است‌ و به‌ نظر مى‌رسد كه‌ ارشميدس‌ نيز در اثري‌ كه‌ دربارة شبه‌ مخروطها نوشته‌ است‌، از آن‌ استفاده‌ كرده‌ باشد (همو، 55 ؛ ه د، ارشميدس‌).
6. اثري‌ با عنوان‌ پسويداريا2 (= مغالطه‌ها)، كه‌ بر جا نمانده‌ است‌. به‌ گفتة پروكلس‌، از آنجا كه‌ بسياري‌ از مبتديان‌ به‌ هنگام‌ كاربرد قواعد رياضى‌ دچار اشتباه‌ مى‌شوند و به‌ نتايج‌ نادرست‌ مى‌رسند و گاه‌ نيز ممكن‌ است‌ فريفتة استدلالى‌ شوند كه‌ ظاهر علمى‌ دارد، اقليدس‌ در اين‌ اثر شيوه‌هاي‌ گوناگون‌ مغالطه‌ را نشان‌ داده‌ است‌ تا استدلال‌ درست‌ از نادرست‌ باز شناخته‌ شود (كانتور، ؛ I/278 پاولى‌، ؛ VI(1)/1051 «فرهنگ‌»، ؛ IV/429 شرايبر، همانجا).
7. «مخروطات‌». اين‌ اثر كه‌ 4 كتاب‌ را در بر مى‌گرفته‌، از ميان‌ رفته‌ است‌. از اشارات‌ پاپوس‌ چنين‌ برمى‌آيد كه‌ «مخروطات‌» اقليدس‌، تحرير تازه‌اي‌ از «مقاطع‌ مخروطى‌» آريستايوس‌ كه‌ آن‌ نيز بر جا نمانده‌، بوده‌ است‌. در حقيقت‌، اثر مفصل‌ 8 جلدي‌ آپولونيوس‌ پرگايى‌ دربارة مقاطع‌ مخروطى‌ موجب‌ شد كه‌ آثار پيش‌ از وي‌ در اين‌ زمينه‌ به‌ فراموشى‌ سپرده‌ شود. پاپوس‌ بر آن‌ است‌ كه‌ مضمون‌ «مخروطات‌» اقليدس‌ با محتواي‌ 3 كتاب‌ نخست‌ «مخروطات‌» آپولونيوس‌ تفاوت‌ چندانى‌ نداشته‌ است‌ ( پاولى‌،؛ VI(1)/1046-1047 «فرهنگ‌»، ؛ IV/427-428 شرايبر، .(55-56
8. «نورشناخت‌3». نسخة اصلى‌ اين‌ اثر بر جا مانده‌ است‌. همچنين‌ تحريري‌ كه‌ ثئون‌ اسكندرانى‌ در 370م‌ از اين‌ اثر فراهم‌ آورده‌، در دست‌ است‌. «نورشناخت‌» مانند اصول‌ هندسه‌ شامل‌ يك‌ سلسله‌ تعريفات‌ و اصول‌ موضوعه‌ است‌. از اشاراتى‌ كه‌ در مقدمة «پديده‌ها» به‌ اين‌ اثر شده‌ است‌، چنين‌ مى‌نمايد كه‌ اقليدس‌ اين‌ كتاب‌ را به‌ طور عمده‌ براي‌ استفاده‌ در ستاره‌شناسى‌ نوشته‌ است‌. اين‌ كتاب‌ با عنوان‌ المناظر يا اختلاف‌ المناظر به‌ عربى‌ ترجمه‌ شده‌، و نصيرالدين‌ طوسى‌ تحرير ديگري‌ از آن‌ فراهم‌ آورد كه‌ در 1358ق‌ در حيدرآباد دكن‌ به‌ چاپ‌ رسيده‌ است‌ (ابن‌ نديم‌، 326؛ كانتور، ؛ I/293 پاولى‌، ؛ VI(1)/1049-1050 «فرهنگ‌»، ؛ IV/430 V/117 ؛ GAS, شرايبر، .(68-70
9. «آينه‌ها4». در اين‌ اثر دربارة بازتاب‌ نور سخن‌ گفته‌ مى‌شود. در تعلق‌ اين‌ اثر به‌ اقليدس‌ ترديد شده‌، اما اشاره‌اي‌ كه‌ در متن‌ «نور شناخت‌»به‌ اثبات‌برابري‌ زواياي‌تابش‌ و بازتاب‌در كتاب‌«آينه‌ها»شده‌ است‌، نشان‌ مى‌دهد كه‌ اقليدس‌ چنين‌ اثري‌ داشته‌ است‌. البته‌ ممكن‌ است‌ آنچه‌ با عنوان‌ كاتوپتريكا، همراه‌ با «نور شناخت‌» اقليدس‌ منتشر شده‌ است‌، نوشتة اقليدس‌ نباشد ( پاولى‌، ؛ VI(1)/1050 شرايبر، .(56
10. «پديده‌ها5»، دربارة ستاره‌شناسى‌. اقليدس‌ در تأليف‌ اين‌ اثر از «طلوع‌ و غروب‌ ستارگان‌» و «دربارة كرة متحرك‌» اطولوقس‌ بهره‌ برده‌ است‌. اين‌ كتاب‌ احتمالاً به‌ قلم‌ على‌ بن‌ عيسى‌ (سدة 3ق‌) با عنوان‌ الظاهرات‌ به‌ عربى‌ ترجمه‌ شده‌، و طوسى‌ تحرير ديگري‌ از آن‌ تهيه‌ كرده‌ است‌ (ابن‌ نديم‌، همانجا؛ پاولى‌، ؛ VI(1)/1048 «فرهنگ‌»، IV/429- 430 ؛ ؛ GAS,V/118-119 شرايبر، .(56-57
11. «اصول‌ موسيقى‌6»، يا تقسيم‌ درجات‌ الالحان‌. ابن‌ نديم‌ (همانجا) از آن‌ با عنوان‌ كتاب‌ النغم‌ نيز ياد مى‌كند («فرهنگ‌»، ؛ IV/430-431 شرايبر، .(57
12. الثقل‌ و الخفة. ابن‌ نديم‌ (همانجا) اثري‌ با اين‌ عنوان‌ به‌ اقليدس‌ نسبت‌ مى‌دهد، اما در مآخذ كهن‌ غربى‌ اشاره‌اي‌ به‌ آن‌ نشده‌ است‌. در سالهاي‌ 1537، 1900 و 1952م‌، قطعاتى‌ با همين‌ عنوان‌ به‌ زبان‌ لاتين‌ كشف‌ و منتشر شد. وپكه‌ نيز قطعه‌اي‌ از ترجمة عربى‌ آن‌ را در كتابخانة ملى‌ پاريس‌ يافت‌ و در 1851م‌ منتشر ساخت‌ ( پاولى‌، VI(1)/1051- 1052 ؛ «فرهنگ‌»، ؛ IV/431 شرايبر، .(57-58
مآخذ: ابن‌ خلدون‌، عبدالرحمان‌، مقدمة، بيروت‌، 1417ق‌/1996م‌؛ ابن‌ سينا، الشفاء، رياضيات‌ (1)، قم‌، 1405ق‌؛ ابن‌ عبري‌، غريغوريوس‌، تاريخ‌ مختصر الدول‌، به‌ كوشش‌ انطون‌ صالحانى‌، بيروت‌، 1403ق‌/1983م‌؛ ابن‌ نديم‌، الفهرست‌؛ ابن‌ هيثم‌، حسن‌، حل‌ شكوك‌ كتاب‌ اقليدس‌ فى‌ الاصول‌، فرانكفورت‌، 1405ق‌/1985م‌؛ خيام‌، عمر، شرح‌ ما اشكل‌ من‌ مصادرات‌ اقليدس‌، اسكندريه‌، 1961م‌؛ روزنفلد، ب‌. ا.، نظرية الخطوط المتوازية فى‌ المصادر العربية، ترجمة سامى‌ شلهوب‌ و كمال‌ نجيب‌ عبدالرحمان‌، حلب‌، 1409ق‌/1989م‌؛ شهرستانى‌، محمد، الملل‌ و النحل‌، به‌ كوشش‌ محمد بن‌ فتح‌الله‌ بدران‌، قاهره‌، 1956م‌؛ صاعد اندلسى‌، طبقات‌ الامم‌، به‌ كوشش‌ لويس‌ شيخو، بيروت‌، 1912م‌؛ قربانى‌، ابوالقاسم‌، زندگى‌نامة رياضى‌دانان‌ دورة اسلامى‌، تهران‌، 1365ش‌؛ قفطى‌، على‌، تاريخ‌ الحكماء، به‌ كوشش‌ يوليوس‌ ليپرت‌، لايپزيگ‌، 1903م‌؛ نصيرالدين‌ طوسى‌، تحرير الاصول‌، تهران‌، 1298ق‌؛ همو، «تحرير ظاهرات‌ الفلك‌»، «تحرير المعطيات‌»، مجموع‌ الرسائل‌، حيدرآباد دكن‌، 1358ق‌؛ همو، الشافية عن‌ الشك‌ فى‌ الخطوط المتوازية، حيدرآباد دكن‌، 1358ق‌؛ نيريزي‌، فضل‌، شرح‌ كتاب‌ اقليدس‌ فى‌ الاصول‌ (نك: مل، «اصول‌ اقليدس‌1»)؛ نيز:
, M., Vorlesungen O ber Geschichte der Mathematik, Stuttgart, 1965; Dictionary of Scientific Biography, New York, 1971-1972; Euclid, Elements, tr. Th. Heath, 1952, Britannica Great Books; Euclidis Elementa, ex interpretatione Al - Hadschdschadschii cum commentariis Al - Narizii, Copenhagen, 1897; Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics, New York, 1963; GAS; Heath, Th., A History of Greek Mathematics, Oxford, 1921; Pauly; Schreiber, P., Euclid, Leipzig, 1987; Steinschneider, M., die arabischen [ bersetzungen aus dem Griechischen, Graz, 1960; Suter, H., Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, Leipzig, 1900.
عليرضا جعفري‌نائينى‌ - محمدعلى‌ مولوي‌