جوامعالحساب بِالتَّخت و التُّراب ، كتابی در حساب، به عربی، از خواجه نصیرالدین طوسی. تألیف رجب 663 (حاجیخلیفه، ج 1، ستون 611؛ نصیرالدین طوسی، الابحاث، ش 2، مقدمه سعیدان، ص 112). چندین نسخه خطی از آن به جامانده است ( رجوع کنید به روزنفلد و احسان اوغلو، ص 214ـ 215؛ قربانی، 1365 ش، ص 491؛ كراوزه ، ص 496؛ سیدآقا بنیهاشمی و قاسملو، ذیل « جوامعالحساب »). احمدسلیم سعیدان متن جوامعالحساب را، بر اساس نسخه كتابخانه سلطان احمد سوم (سرای) كه در 664 از روی دستخط مؤلف نوشته شده، ویرایش و چاپ كرده است.
حساب با تخت و تراب شیوهای بود كه از اوایل قرن سوم به بعد در سرزمینهای اسلامی رایج شد. در این شیوه برای انجام اعمال حساب، بر روی تخته یا لوح مسطحی به نام لوح غبار، كه پوشیده از مقداری خاك یا شن نرم بود، ارقام و عملیات حساب را با نوك میلهای مینوشتند. اَعمالِ فرعی را در ذهن انجام میدادند و هر وقت لازم میشد رقمی را با دست محو میكردند و رقم دیگری را به جای آن مینوشتند. این شیوه را حساب با تخت و میل هم مینامیدند (قربانی، 1370 ش، ص 35). اشكالات و دشواریهای عملی این شیوه محاسبه موجب شد كه ریاضیدانان كاغذ و مركّب را جانشین آن كنند. روند محاسبه با تخت و تراب سه قرن پیش از نصیرالدین طوسی در رساله الفصول فی الحساب الهندی، نوشته اقلیدسی، آغاز شد، اما سرانجام متروك گردید (سعیدان، ص 338).
نام این اثر نصیرالدین طوسی در برخی منابع به صورت جوامعالحساب علیالتخت و التراب (رجوع کنید به آقابزرگ طهرانی، ج 5، ص 249) و جامعالحساب فیالتخت و التراب(صفدی، ج 1، ص 181؛ ابنشاكر كتبی، ج 3، ص 249؛ كنتوری، ص 152) ضبط شده است. نصیرالدین طوسی رسالهای فارسی به نام جامعالحساب دارد كه مطالب و فصل بندی آن تا حدی شبیه جوامعالحساب است، ولی ترجمه آن نیست (استوری ، ج 2، بخش 1، ص 6؛ حسینی اشكوری، ج 3، ص 209؛ منزوی، ج 4، ص 2636ـ 2637)، بهرغم نظر برخی (رجوع کنید به روزنفلد و احسان اوغلو، ص 214) كه آن را ترجمه فارسی جوامعالحساب دانستهاند.
از جوامعالحساب دو نسخه در كتابخانه آستان قدس رضوی موجود است. یكی، در 972 به تملك شیخ بهاءالدین عاملی در آمده و در 1145 نادرشاه افشار آن را وقف این كتابخانه كرده است (گلچین معانی، ج 8، ص 130). نسخه دیگر، تنها شامل ده روش موجود در جوامع الحساب برای ضرب اعداد صحیح (فصل 6 باب اول) است (عرفانیان، ج 10، ص 110). این نسخه ناقص از روی نسخهای به خط معینالدینبن منجم كاشی (از نزدیكان غیاثالدین جمشید كاشانی) نوشته شده است كه اكنون در كتابخانه ملی ملك نگهداری میشود و آن هم تنها شامل فصل ضرب اعداد صحیح است (افشار و دانشپژوه، ج 6، ص 263). همین فصل در 1299، جزو پیوستِ شرح قاضیزاده رومی بر الملخّص فی علمالهیئه چغمینی (چاپ سنگی 1286؛ ص 50 ـ57)، منتشر شده است.
نسخه كهنی از جوامعالحساب ، كه در 695 كتابت شده است، به شماره 2/4409 در كتابخانه مركزی دانشگاه تهران نگهداری میشود كه ترتیب اوراق آن در صحافی به هم ریخته و با اوراق رساله دیگری درآمیخته است (دانشپژوه، ج 13، ص 3370ـ3371).
كتاب جوامعالحساب سه باب و هر باب آن چند فصل دارد: باب اول، در حساب اعداد صحیح، در دوازده فصل؛ باب دوم، در حساب كسرها به روش محاسبان (كسرهای متعارفی)، در چهارده فصل؛ باب سوم، در حساب كسرها به روش منجمان (كسرهای شصتگانی)، در دو مسلك: مسلك اول، به روش حساب هندی (با شمارهای دهدهی)، در دَه فصل، و مسلك دوم، به روش حساب جمل (با حروف ابجد)، در نُه فصل (برای ترجمه فارسی عنوان فصلهای این اثر رجوع کنید به قربانی، 1365 ش، ص 490). چاپ احمد سلیم سعیدان، به علت افتادگی در نسخه اساس، بخشی از باب اول (از میانه فصل نهم تا میانه فصل یازدهم) را ندارد (نصیرالدین طوسی، الابحاث ، ش 2، همان مقدمه، ص 142). به گمان سعیدان، این افتادگی، كه شامل مثالهای استخراج جذر و روش استخراج كعب و ریشههای بالاتر است، به كل مطالب لطمهای نمیزند، زیرا با توجه به بقیه رساله، بهخصوص آنچه در باب حساب منجمان آمده است، مطالب افتاده را میتوان استنتاج كرد (همان مقدمه، ص 112). در واقع، گرچه نصیرالدین طوسی در فصل نهم مسلكِ اول از باب سوم جزئیات استخراج ریشه چهارم عدد كسری شصتگانی 40 , 30 , 25 , 11 , 5 , 4 (یعنی 2345 685 ، 882) و در فصل نهم از مسلك دوم این باب، جزئیات استخراج كعب عدد شصتگانی 40 , 13 , 2 , 24 , 40 , 36 , 57 , 0 , 19 (یعنی 020 ، 192 ، 309 ، 958 ، 193 ، 3) را بیان كرده (همان، ش 3، ص 271ـ274، 285ـ286)، فقدان فصل یازدهم باب اول به هیچ روی جبران نشده است.
جوامعالحساب از قدیمترین رسالههای ریاضی شناخته شده از دوره اسلامی است كه در آن روش كلی برای یافتن ضرایب بسط دو جملهای n (a+b ) ــ كه اكنون دو جملهای نیوتن خوانده میشود ــ آمده است. مثلث حاوی این ضریبها، كه بعدها مثلث خیام ـ پاسكال خوانده شد، در یافتن ریشه n ام عددها كاربرد دارد.
ضرایبی كه در تصویر دیده میشود، مربوط به بسط عبارت n -b n ) a+b ) است. اگر a ریشه n ام تقریبی A باشد، چنان كه r +n A=a و n –a n (1 a+ )> r، مقدار دقیقتر ریشه n ام، بر پایه روشی به نام درونیابی خطی (تعدیل بینالسطرین)، از فرمول n -a n(1 +a ) a+r به دست میآید. با تكرار این عمل میتوان به مقادیر هر چه دقیقتر ریشه رسید. امروزه این روش روفینی ـ هورنر خوانده میشود (یوشكیویچ، ص 76ـ77). نصیرالدین طوسی در فصل یازدهم باب اول، با عنوان «فی استخراج اضلاع سایر المضلعات»، كه به دنبال فصلهای مربوط به استخراج جذر و كعب آمده، ریشه ششم عدد 626،140،244 را با این روش چنین یافته است (نصیرالدین طوسی، نسخه خطی، گ 22 ر؛ یوشكیویچ، ص 80):
كوشیار گیلانی *(رونق حیات در نیمه دوم سده چهارم)، ابوالحسن نَسَوی *(ریاضیدان سده پنجم) و سموألبن یحیی مغربی *(متوفی 570) از این روش تلویحاً در استخراج جذر و كعب عددها استفاده كردهاند (نصیرالدین طوسی، الابحاث، ش 2، همان مقدمه، ص 110؛ شملا ، ص 207، 251). تا چندی پیش، بر اساس مقالهای از پل لوكی كه در 1321 ش/ 1942 تألیف و در 1327 ش/1948 منتشر شد، مفتاحالحساب كاشانی، كه حدود یك و نیم قرن بعد از جوامع الحساب نوشته شده است، شامل قدیمترین نمونه كاربرد روش روفینی ـ هورنر تصور میشد (شملا، ص 207). بر پایه اطلاعات كنونی، قدیمترین اثر حاوی روشِ بسطِ دو جملهای، از آنِ سموألبن یحیی مغربی است كه در كتاب الباهر فی الجبر (ص 109ـ 112)، دستور بسط دو جملهای را از قول ابوبكر محمدبن حسین كرجی (متوفی ح 420) نقل كرده است.
نصیرالدین طوسی ادعا نكرده كه خودش همه این روشها را كشف نموده است. چون او در مورد مفهوم نسبت بین دو عدد و اصل توازی اقلیدس، اندیشههای خیام را بسط داده است، شاید در این مورد هم از خیام تأثیر گرفته باشد، بهخصوص كه خیام در رساله جبر و مقابله خود اشاره كرده كه روش استخراج ریشههای با مرتبه بیش از سه را ابداع نموده است و آن را در رساله دیگری (احتمالاً به نام مشكلاتالحساب كه اكنون نسخهای از آن در دست نیست) آورده است. از سوی دیگر بعید نیست كه نصیرالدین طوسی این روش را از اخترشناسان چینی، كه در رصدخانه مراغه كار میكردند، فراگرفته باشد (یوشكیویچ، ص 80؛ قربانی، 1365 ش، ص 334).
ظاهراً ابوالوفای بوزجانی و ابوریحان بیرونی هم اثری در باره استخراج ریشه n ام عددها داشتهاند كه اكنون به جا نمانده است (شملا، ص 209). به نظر میرسد كه چینیها از قرون اول میلادی این روش را به طور تلویحی به كار میبردهاند، ولی قضاوت نهایی در باره پیشگامی در كاربرد این روش و چگونگی و میزان تأثیر كار ریاضیدانان ایرانی بر چینیها، یا به عكس، مستلزم بررسی و پژوهش بیشتر در منابع موجود و یافتن منابع دیگر است، چنان كه برخی پژوهشگران، پیشگامی چینیها را در این مورد منتفی دانستهاند (همان، ص 208). خوارزمی و اقلیدسی هم از این روش برای گرفتن جذر و كعب عددها استفاده كردهاند، ولی شیوه عمل آنان بیشتر به شیوه ریاضیدانان هندی شباهت دارد (همان، ص233ـ 235).
فصل یازدهم از باب اولِ جوامعالحساب را، كه در باره استخراج ریشههای بالاتر از كعب و بسط دو جملهای در آن است، احمدوف و روزنفلد به روسی ترجمه و با توضیحات احمدوف منتشر كردهاند (برای اطلاع از دیگر پژوهشهای دانشمندان روس در باره جوامعالحساب رجوع کنید به روزنفلد و احساناوغلو، همانجا).
(18) Karine Chemla, "Similarities between Chinese and Arabic mathematical writings: (I) root extraction" , Arabic sciences and philosophy , vol. 4, no. 2 (Sept. 1994); (19) Max Krause, "Stambuler Handschriften islamischer Mathematiker" , Quellen und studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik , pt. B: Study 3 )1936); (20) Boris Abramovich Rozenfeld and Ekmeleddin Ihsanoglu, Mathematicians, astronomers and other scholars of Islamic civilization and their works( 7 th -19 th c. ), Istanbul 2003; (21) Ahmad Salim Saidan, "Numeration and arithmetic", in Encyclopedia of the history of Arabic Science , ed. Roshdi Rashed, vol. 2, London: Routledge, 1996; (22) Charles Ambrose Storey, Persian literature: a bio-bibliographical survey , vol. 2, pt. 1, London 1972; (23) Adolf P. Youschkevitch, Les mathematiques arabes: VIII e -XV e siecles , tr. M. Cazenave and K. Jaouiche, Paris 1976.