جبر و مقابله ، با تحولاتی که به ویژه از قرن نوزدهم میلادی تاکنون رخ داده ، واژة جبر امروز بر یکی از علوم ریاضی اطلاق می شود که موضوع آن بررسی ساختارهای جبری (گروه ، حلقه ، هیئت ،...) است ، اما در این مقاله ما آن را به معنایی محدودتر، و تاریخی تر، به کار خواهیم برد. در این معنی ، جبر علمی است که موضوع آن حل معادلات و نیز عملیات بر روی چند جمله ایهاست . این علم در دوران اسلامی «جبر» یا «جبر و مقابله » نامیده می شده است .

معنای واژه های جبر و مقابله . واژة «الجبر» (در فارسی : «جبر») نخستین بار در عنوان کتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابلة تألیف محمدبن موسی خوارزمی * به کار رفته و پس از آشنایی اروپاییان با این کتاب (ادامة مقاله ) با مختصر تغییراتی (مثلاً به صورت algebra در انگلیسی و algةbre در فرانسه ) به زبانهای دیگر راه یافته است . این واژه از ریشة جَبَرَ در عربی گرفته شده که به معنای شکسته بندی و جُبران است ، اما خوارزمی آن را بر عملِ افزودن جمله های مساوی بر دو سوی یک معادله ، برای حذف جمله های منفی ، اطلاق می کند. واژة «مقابله »، که آن هم در عنوان کتاب خوارزمی دیده می شود،

به معنای حذف مقادیر مساوی از دو طرف معادله است

( رجوع کنید بهمحمدبن موسی خوارزمی ، ص 40). نویسندگان آثار دایرة المعارفی ، از جمله محمدبن احمد خوارزمی (متوفی 387؛ ص 200) و فخررازی (زندگی ، 543 ـ 6061؛ ص 393) و ابن اکفانی (ص 84) و طاشکوپری زاده (ج 1، ص 369) و حاجی خلیفه (ج 1، ستون 579) و غالب جبردانان پس از خوارزمی ، از جمله ابوبکر محمد کَرَجی * (قرن چهارم )، واژة جبر را به همین معنی به کار برده اند (نیز رجوع کنید بهبلوستا ، ص 74). ابوکامل شجاع بن اسلم * (نیمة دوم قرن سوم ) نیز مشتقات واژة جبر را به همین معنی به کار می برد. مثلاً برای حل معادلة 80 = x 20ـ100 می گوید: «صد درهم را با بیست شی ء جبر کن و آن را با هشتاد جمع کن (فَاجْبُرِ المِائةَ درهم بِالعشرین شی ء وَزِدْهابالثمانینَ)» تا به صورت 100=80+ x 20 درآید ( رجوع کنید به ابوکامل ، 1406 الف ، ص 49ـ50؛ همو، 1406 ب ، ص 69). ابوریحان بیرونی ( التفهیم ، متن عربی ، ص 37، متن فارسی ، ص 48ـ49). عمل جبر را به افزودن مقادیر مساوی به دو کفة ترازو برای حفظ تعادل آن تشبیه می کند و در این تمثیل ، بی آنکه به آن تصریح کند، به اصول a + c = b + c a = b و a - c = b - c a = b از اصول متعارف کتاب اصول اقلیدس (ج 1، ص 155) استناد می جوید. خواجه نصیرالدین طوسی (597 ـ672؛ 1335 ش ، ص 19ـ20) و غیاث الدین جمشید کاشانی (متوفی 832؛ ص 189) و ابن غازی مکناسی (متوفی 919؛ ص 228) نیز جبر و مقابله را به همین صورت تعریف کرده اند. با این حال ابن بنّای مراکشی (654ـ 721)، هرچند در کتاب خود بخشی را به جبر و مقابله به معنای متعارف آن اختصاص داده ، در جای دیگری واژة «جبر» را به «اصلاح » معنی می کند و آن را به معنی تقسیم مقدار ثابت به ضریب مجهول در معادلة ax = b می داند (ص 56؛ نیز رجوع کنید بهقَلَصادی ، ص 151ـ152). اما قلصادی (ص 247)، جبر را به همان معنای اصطلاحی به کار برده است . کاربرد ابن بنّا نیز هرچند با معنی متعارف جبر متفاوت است ، به نحوی با ریشة لغوی این کلمه ارتباط دارد. به این دلایل ، نظر صلیبا (1983) که این واژه را مشتق از ریشة جَبَرَ به معنای مجبور کردن و ناگزیر کردن می داند و غرض خوارزمی را از آن «بیرون کشیدن » ریشة یک معادله می شمارد پذیرفتنی نمی نماید.

جایگاه جبر در میان علوم . در طبقه بندیهای یونانیان از علوم ، نام علم جبر جزء علوم ریاضی نیامده است . نخستین کسی که جبر را در طبقه بندی علوم داخل کرده فارابی است که در احصاءالعلوم خود بخشی را به «علم الحیل » یا «علوم الحیل » اختصاص داده است . این علوم ، که فارابی در تعریف آنها می گوید: «علمِ شیوة چاره جویی است برای کاربرد آنچه وجودشان در ریاضیات با برهان ثابت شده در اجسام طبیعی و ایجاد و وضع آنها بالفعل » (ص 88)، جز «علم حیل » به معنای متعارف آن و نیز «علم آینه های سوزان »، که جزء «حیل هندسی » هستند، دستة دیگری از علوم را نیز دربرمی گیرد که فارابی آنها را «حیل عددی » می نامدو شامل «علمی است در میان مردم زمان ما به جبر و مقابله معروف است » (ص 89). از اینکه فارابی جبر را جزء علوم حیل آورده ، معلوم می شود که از نظر او هنوز جبر نه علمی برهانی بلکه مجموعه ای از شگردها برای استخراج



ریشه های معادلات شمرده می شده است . این دیدگاه به نحوی در طبقه بندی ابن سینا از علوم هم منعکس شده است . وی در رسالة فی اقسام العلوم العقلیة (ص 122) جبر را جزء «اجزاء فرعی (الاقسام الفرعیة ) ریاضیات » آورده و آن را، در کنار «عمل جمع و تفریق بر حَسَب حساب هندی » یکی از «شاخه های علم اعداد (من فروع علم العدد)» شمرده است . در تقسیم بندی ابن سینا، علم «حیل هندسی »، در کنار «علم اثقال ، صناعت اوزان و موازین ، مناظر و مرایا و آینه ها» جزء فروع علم هندسه شمرده شده است . همین طبقه بندی در رساله ای از خواجه نصیر طوسی نیز بعینه تکرار شده است ( رجوع کنید بهنصیرالدین طوسی ، 1359 ش ، ص 527). بدین ترتیب ، در تقسیم بندی ابن سینا آنچه فارابی «علوم حیل » نام داده ، با تفصیل بیشتر، «اقسام فرعی علوم ریاضی » نام گرفته است . با این حال ، ابن سینا برخی از این رشته ها را «علم » (علم المساحة ، علم الحیل المتحرکة ، علم نقل المیاه ) و برخی دیگر، از جمله جبر، را «عمل » می نامد. ظاهراً خصوصیت مشترک دستة اخیر عملی بودن آنهاست . ابن سینا در تقسیم بندیهای دیگری که از علوم کرده است این علوم فرعی را ذکر نمی کند ( رجوع کنید به منطق المشرقیین ، ص 5 ـ 6، که تصریح می کند که تنها علوم اصلی را ذکر کرده است ).

در تعریف کرجی (قرن چهارم هجری رجوع کنید به ادامة مقاله )، جبر و مقابله یکی از روشهای «حساب » است ، اما تعریف کرجی از حساب بسیار کلی تر از مفهوم حساب به عنوان مجموعه ای از روشها و «عبارت است از به دست آوردن مجهولات از معلومات » (کرجی ، 1964، ص 7؛ همو، 1406، ص 97)، این تعریف خود در واقع از مفهوم جدید جبر متأثر است . تعریفی که کرجی از روشهای حساب به دست می دهد هم حل معادلات سیّال و معیّن را شامل می شود و هم حساب چند جمله ایها را.

خیام در رسالة جبر و مقابلة خود (ص 7، ترجمة فارسی ، ص 159؛ نیز رجوع کنید به راشد و وهاب زاده ، ص 117)، «صناعت جبر و مقابله » را یکی از «مفاهیم ریاضی » می شمارد «که در بخشی از فلسفه که به ریاضی معروف است ، بدان نیاز می افتد». هرچند خیام در این عبارت در صدد به دست دادن تعریفی جامع و مانع از جبر نیست ، اما از نوشتة او چنین استفاده می شود که جبر اولاً «صناعت » است و ثانیاً جزء علوم ریاضی است . نتیجة کلی سخن خیام این است که جبر در طبقه بندی کلی علوم فلسفی قرار می گیرد، هرچند او جایگاه آن را در میان این علوم مشخص نمی کند. وی همچنین در تعریف جبر می نویسد که «فن جبر و مقابله فنی علمی است که موضوع آن عدد مطلق و مقادیر قابل سنجش است از آن جهت که مجهول اند ولی مرتبط با چیز معلومی هستند که به وسیلة آن می توان آنها را استخراج کرد» (ص 8 ـ9، ترجمة فارسی ، ص 161؛ نیز رجوع کنید به راشد و وهاب زاده ، ص 120ـ 121). بنابراین ، در نظر خیام ، مقادیر عددی و مقادیر هندسی هر دو می توانند ریشة معادلات جبری باشند. خیام در رسالة دیگر خود به نام فی قسمة ربع الدائرة (این رساله ، با عنوان رسالة لابی الفتح عمربن ابراهیم الخیامی به چاپ رسیده است ) نیز تلویحاً با این فکر که جبر مجموعه ای از شگردها («حیله »، توجه کنید که در تقسیم بندی فارابی جبر جزء «علوم الحیل » قرار می گیرد) باشد مخالفت می کند. خیام می نویسد: «و آنکه گمان برده است که جبر حیله ای ( شگردی ) برای استخراج اعداد مجهول است ، امر نامعقولی را گمان برده است . ... جبر و مقابله اموری هندسی است که به وسیلة اَشکال پنجم و ششم مقالة دوم ( اصول اقلیدس ) مبرهن می شود» (ص 65ـ66، ترجمة فارسی ، ص 264؛ نیز رجوع کنید بهراشد و وهاب زاده ، ص 251). به این ترتیب ، جبر و مقابله ، از نظر خیام ، علمی هندسی است و چون هندسی است بُرهانی نیز هست . این اختلاف در جایگاه جبر به دلیل تازگی این علم و دو تصوری است که از آغاز این علم به موازات هم وجود داشته است .

در طبقه بندیهای متأخر (مثلاً حاجی خلیفه ، ج 1، ستون 578) علم جبر و مقابله «از فروع علم حساب » شمرده شده است . اما باید توجه داشت که این طبقه بندیها به دورانی تعلق دارند که دستاوردهای بزرگ علم جبر دوران اسلامی فراموش شده و از آن تقریباً چیزی جز حل شش دسته معادلة خوارزمی باقی نمانده بود.

پیشینة علم جبر. مسائلی که یافتن مقدار مجهول در آنها به حل معادلات جبری درجة اول و دوم ، و گاه به حل دستگاهی از معادلات ، منجر می شود، از گذشتة بسیار دور در تمدنهای گوناگون شناخته بوده است و برخی از مورخان مانند بارتل وان در واردن ریشة این مسائل را به دورانهای پیش از تاریخ می رسانند ( رجوع کنید بهواردن ، 1983). مصریان باستان با دستور (الگوریتم ) حل معادلات درجة اول آشنا بودند و بابلیها، از حدود 1700 پیش از میلاد، نه تنها راه حل معادلات درجة اول ودوم را می شناختند (نویگه باور ، ص 40ـ42)، بلکه برخی از معادلات از درجات بالاتر، و حتی حالات خاصی از معادلات درجة هشتم ، را حل می کردند (همان ، ص 48). با این حال ، آنچه از این تمدنها به دست ما رسیده ، فقط مجموعه هایی از مسائل عددی است . راه حلها، هرچند در مورد معادلات درجة اول و دوم کلیت دارند، از طریق مسائل عددی خاص بیان می شوند و معلوم نیست به چه طریق به دست آمده اند و در مسائلی که درجة آنها از دو بیشتر است ،





دستورهای حل معادلات تنها در موارد خاص کاربرد دارند.

از عصر زرین ریاضیات یونانی (قرنهای پنجم و چهارم و سوم پیش از میلاد)، هیچ اثری در زمینة جبر به دست ما نرسیده است . به نظر می آید که علاقة یونانیان به برهان دقیق ، و نیز کشف کمیات ناهمسنجه ، توجه ریاضیدانان یونانی را یکسره به هندسه معطوف کرده بوده است . در فلسفة یونانی ، به صورتی که در آثار ارسطو آمده ، و تأثیر آن در آثار ریاضیدانان یونانی چون اقلیدس و ارشمیدس و آپولونیوس دیده میشود، کمیتها به دو دستة کاملاً متمایز تقسیم می شوند: اعداد، که منظور از آن اعداد طبیعی است (یعنی مضربهای واحد؛ خودِ واحد تجزیه ناپذیر محسوب می شود) و مقادیر، که کمیّات هندسی (طول و سطح و حجم )اند. مفهوم کلی «عدد حقیقی » (شامل اعداد گویا و گُنگ ) بی معنی است ، اعداد گویا (کسرها) به صورت «نسبت »هایی میان اعداد طبیعی تعریف می شوند و موجوداتی که امروزه عدد گنگ می نامیم با پاره خط ، و نسبت میان آنها با نسبت میان پاره خطها، نمایش داده می شوند. با این حال ، وجود برخی روشها در کتاب مخروطات آپولونیوس (قرن سوم پیش از میلاد) و برخی از قضایا در مقالات دوم و ششم و دهم کتاب اصول اقلیدس (تألیف شده در حدود 300 پیش از میلاد) گروهی از مورخان را معتقد کرده است که یونانیان از نوعی جبر هندسی استفاده می کرده اند. اصطلاح «جبر هندسی » را نخستین بار ریاضیدان دانمارکی زویتن در کتاب خود به نام > نظریة مقاطع مخروطی در دوران باستان < ابداع کرده است . زویتن دریافت که در کتاب مخروطات آپولونیوس ، خواص اصلی مقاطع مخروطی از راه عملیاتی بر روی پاره خطها از یک سو، و سطوح از سوی دیگر، بیان شده است که همان خواص جمعی و ضربی را دارند که امروزه در کتابهای جبر آموخته می شود (واردن ، ص 75). مفهوم جبر هندسی را با مثالهایی از کتاب اصول اقلیدس بهتر می توان توضیح داد. مثلاً قضیة اول از مقالة دوم اصول (ج 1، ص 375) به این صورت است :

هرگاه دو خط مستقیم داشته باشیم و یکی از آنها را به تعداد دلخواهی پاره خط تقسیم کنیم ، مستطیلی که از دو خط مستقیم تشکیل شود، برابر با مجموع مستطیلهایی است که از پاره خط دیگر و هریک از قطعات تشکیل می شود.

اگر قطعات پاره خط اصلی را به b و c و... و پاره خط دیگر را به a نمایش دهیم ، این قضیه خاصیت پخش پذیری جمع نسبت به ضرب را بیان می کند (شکل 1):

a (b + c +...) = ab + ac + ...





همچنین قضیة چهارم از مقالة دوم اصول (ج 1، ص 379) می گوید که اگر پاره خطی را به دو بخش تقسیم کنیم ، مربعی

که بر روی کل پاره خط ساخته می شود مساوی است با

مجموع مربعهایی که بر روی هریک از دو بخش ساخته می شوند و دو مستطیلی که از دو بخش به دست می آید. هرگاه طول دو پاره خط را با نمادهای a و b نمایش دهیم ، این قضیه با اتحاد جبری ab 2 + 2 + b 2 = a 2 (a + b) معادل است (شکل 2).











مهم تر از این دو، از لحاظ تاریخ علم جبر، قضیة پنجم از مقالة دوم کتاب اصول (ج 1، ص 382) است : هرگاه پاره خط AB را در نقطة C به دو قسمت مساوی AC و CB و در نقطة D به دو قسمت نامساوی AD و DB تقسیم کنیم ، مستطیلی که یک ضلع آن AD و ضلع دیگری آن DB باشد به اضافة مربعی که هر ضلع آن CD باشد مساوی است با مربعی که روی CB (نصف پاره خط اصلی ) ساخته شود.

این قضیه بدین معنی است که در شکل 3، مستطیل AEDG به اضافة مربع FGIJ مساوی است با مربع CBIK . چنانکه در این شکل فرض کنیم که AB = a و DB = x ، آنگاه این قضیه به معادلة 2 = b 2 ax - x منجر می شود (همان ، ج 1، ص 383). اما چنین تعبیری مستلزم این اعتقاد است که هر طولی را می توان با









عددی نمایش داد، درحالی که در سنّت یونانی هرچند هر عددی را با طولی نمایش می دادند، معتقد نبودند که در برابر هر طولی هم عددی وجود داشته باشد. همچنین است ترسیماتی که در قضایای بیست و هشتم و بیست و نهم از مقالة ششم کتاب اصول (ج 2، ص 261ـ267) خواسته شده و معادل با حل یک معادلة درجة دوم است .

به همین دلیل ، چه در اصول اقلیدس و چه در مخروطات آپولونیوس ، مساحت مستطیل هیچ گاه به صورت حاصل ضرب اضلاع آن نشان داده نمی شود، بلکه مساحت هر شکل با مساحتی دیگرسنجیده می شود.ازاین رو، هرچند آپولونیوس ،در مخروطات ، خواص مقاطع مخروطی را از طریق مفهومی به نام نشانه بررسی می کند که به مفهوم امروزیِ معادلة مقطع مخروطی بسیار نزدیک است ، بااین حال ، وی همواره نشانه را به صورت برابری دو سطح بیان می کند. بنابراین ، تعبیر جبری قضایای فوق توجیهی ندارد. همچنین ، هرچند برخی از ترسیمات هندسی مقالة ششم کتاب اصول نیز، هرگاه به زبان نمادهای جبری ترجمه شوند، به حل معادلاتی از مرتبة اول و دوم منجر می شوند، اما تعبیر جبری این قضایا نیز با همان مشکل پیشین مواجه است . همچنین است مقالة دهم اصول ، که بسیاری از قضایای پیچیدة آن ، به زبان جبری ، معادل با گویا کردن اعداد گنگ است . با این حال ، مسئلة جبر هندسی یونانی ، و به ویژه تعبیر مقالات «جبری » کتاب اصول اقلیدس ، در بین مورخان ریاضیات همچنان مورد بحث است .

در این میان یک استثنای مهم وجود دارد و آن کتاب الحساب دیوفانتوس اسکندرانی است . موضوع این کتاب که تاریخ دقیق تألیفش معلوم نیست اما احتمالاً در قرن سوم میلادی تألیف شده (هیث ، ج 2، ص 448)، «لوژیستیک یا شاخة محاسباتی حساب است که در حل مسائل عملی از آن استفاده می شود» ( زندگینامة علمی دانشوران ، ج 4، ص 111). در ریاضیات یونانی ، «لوژیستیک » مجموعه ای از فنون محاسبه بود و معمولاً در مقابل «فن حساب » قرار می گرفت که دانشی برهانی محسوب می شد. کتاب الحساب در اصل در هفت مقاله بوده که اصل یونانی مقالات اول تا سوم و ترجمة عربی چهار مقالة دیگر آن در دست است ( رجوع کنید به دیوفانتوس اسکندرانی ، صناعة الجبر ، مقدمة راشد، ص 8 ـ13)، و مجموعه ای است از مسائل معیّن (معادلات یک مجهولی یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها به تعداد معادلات است ) و نامعیّن (سیال ، معادله یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها بیش از تعداد معادلات است ). دیوفانتوس در تنظیم این معادلات ترتیب خاصی را رعایت نکرده است . در مورد هر معادله یا هر دستگاه از معادلات ، دیوفانتوس راه حل را عرضه می کند و در مورد معادلات سیال جوابهای گویا را به دست می آورد و در این کار غالباً به تغییر متغیرهای هوشمندانه و روشهای بدیع برای کاستن از درجة معادلات متوسل می شود ( زندگینامة علمی دانشوران ، همانجا). گذشته از این ، دیوفانتوس نامهایی برای توانهای مختلف اعداد ابداع کرده است و نیز نخستین نشانه های مختصر نویسی در جبر (انتخاب برخی از حروف الفبای یونانی برای نمایش توانهای مجهول ) در کار او دیده می شود. همچنین ، دیوفانتوس دو عمل را تعریف می کند که برای ساده کردن معادلات انجام می گیرد (واردن ، ص 98). یکی ازاین دو عمل بعدها در کتاب خوارزمی «جبر» و دیگری «مقابله » نام می گیرد ( د. اسلام ، چاپ دوم ، ذیل «الجبر و المقابله »).

خوارزمی و پیدایش علم جبر. نخستین اثر مستقل در جبر کتابی است از محمدبن موسی خوارزمی که به کتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابلة معروف است (هرچند کلمة «المختصر» در عنوان آن دیده نمی شود) و در زمان خلافت مأمون (بین سالهای 198 و 218) تألیف شده است (خوارزمی ، ص 15). با اینکه خوارزمی (ص 16) تصریح می کند که هدف او نوشتن

کتابی است که در مسائل عملی مربوط به تقسیم میراث و مسّاحی و تجارت به کار آید، و بخشهایی از کتاب نیز به

این گونه مسائل اختصاص دارد، اهمیت این کتاب عمدتاً در ارزش نظری آن است . زیرا در این کتاب است که علم جبر، به صورت یک علم مستقل با واژگان و مفاهیم و روشهای خاصی که آن را از حساب و هندسه متمایز می کنند، متولد می شود. این امر از روشی که خوارزمی در معرفی موجودات جبری به کار می برد پیداست .

وی (همانجا) نخست عدد را، به سنّت یونانی ، به صورت ترکیبی از واحدها تعریف می کند، سپس سلسله های زیر را می سازد:



1، 2، 3،...، 9، 10

1+10 ،2+10 ، 3+10، ...، 9+10 ،10*2

1+10*2، 2+10*2،...، 9+10*2، 3*10



.

.

.



10*10 = 2 10

.

.

.

.



2* 2 10

.

.

.

10* 2 10 = 3 10

آنگاه خوارزمی ، از روی قیاس با این سلسله های عددی ، موجوداتی را که در علم جبر به کار می رود تعریف می کند. این موجودات عبارت اند از شی ء (مقدار مجهول یا x ) که به قیاس با ضریب بخش دهگانی (ضریب 10) در یک عدد دو رقمی ساخته می شود، مال (توان دوم مقدار مجهول یا 2 x ) که به قیاس بخش صدگانی (ضریب 2 10) در یک عدد صدگانی ساخته می شود، و عدد یا درهم (مقدار معلوم )، که متناظر است با ارقام 1 تا 9 در سلسلة اعداد دهگانی . به این ترتیب ، موجودات جبری شکل تعمیم یافته ای از اعداد حسابی به نظر می آیند. یعنی عدد مطلق (مفرد) متناظر است با یکی از اعداد 1 تا 9 در دستگاه دهگانی ، تک جمله ای مرتبة اول ax ( a و x اعداد گویای مثبت اند) متناظر است با عدد m 10، که در آن m یکی از ارقام 1 تا 9 است و تک جمله ای مرتبة دوم 2 ax متناظر است با عدد m 2 10. سپس خوارزمی (ص 17ـ 18) به تقسیم بندی معادلاتی می پردازد که از ترکیبهای مختلف این موجودات با یکدیگر حاصل می شود. به این طریق شش دسته معادله ، از درجات اول و دوم ، به دست می آید:

1) شی ءهایی مساوی با عددی است : ax = b ،

2) مالی مساوی با عددی است : = a 2 x ،

3) مالی مساوی با شی ءهایی است : = ax 2 x ،

4) مالی به اضافة شی ءهایی مساوی با عددی است :

+ ax = b 2 x ،

5) مالی به اضافة عددی مساوی شی ءهایی است :

+ a = bx 2 x ،

6) مالی مساوی با شی ءهایی به اضافة عددی است :

= bx + a 2 x ،

ضریبهای a و b همواره اکیداً مثبت (مثبت و مخالف صفر)اند. در نمونه هایی که خوارزمی ذکر می کند، همة ضرایب اعداد صحیح اند اما، چنانکه خواهیم دید، جانشینان او معادلاتی با ضرایب کسری و حتی گنگ را هم در نظر می گیرند.

خوارزمی (ص 18) معادلات (4) تا (6) را مقترنات نام داده است و جبردانان پس از او معادلات (1) تا (3) را مفردات نامیده اند. این شش معادله ، در واقع تمامی حالات معادلات درجة اول و دوم را، به شرط مثبت بودن ضرایب ، نشان می دهند. چنانچه معادله ای به صورتی جز یکی از این شش صورت داده شده باشد، آن را با یکی از دو عمل «جبر» یا «مقابله »، یا با هر دو عمل ، به یکی از این شش صورت نرمال تبدیل می کنیم . مثلاً معادلة 6 = 4 + x 7 ـ 2 x از راه «جبر» (افزودن مقدار x 7 به دو سوی معادله ) به صورت 6 + x 7 = 4 + 2 x و از راه مقابله (حذف مقدار 4 از دو سوی معادله ) به صورت

2 + x 7 = 2 x درمی آید که نمونه ای است از معادلة (6). همچنین هرگاه ضریب 2 x عددی مخالف یک باشد، با تقسیم طرفین معادله به این عدد، معادله به صورت نرمال درمی آید.

از این معادلات ، یکی (شمارة 1) از درجة اول و یکی دیگر (شمارة 3) قابل تبدیل به معادلة درجة اول است . راه حل این دو معادله بدیهی است (خوارزمی البته ریشة صفر را در مورد معادلة شمارة 3 به حساب نمی آورد) و حل معادلة شمارة 2 به استخراج جذر یک عدد منجر می شود. در مورد سه معادلة دیگر، خوارزمی دستور (الگوریتم ) کلی حل معادله را به دست می دهد، منتهی در مورد هر معادله راه استفاده از این الگوریتم را با استفاده از یک مثال عددی که آن را «الگو» («باب ») می نامد نشان می دهد. به عنوان مثال ، دستور حل معادلة (4) به صورت زیر است : تعداد شی ءها (ضریب x یا a ) را نصف می کنیم ، حاصل را در خودش ضرب می کنیم ، مقدار به دست آمده را با تعداد درهمها (b) جمع می کنیم ، از مقداری که به این طریق به دست می آید جذر می گیریم ، و از حاصل ، نصف تعداد شی ءها را کم می کنیم . عدد به دست آمده مقدار مجهول است ( رجوع کنید به همان ، ص 19). به عبارت

دیگر، a 2 1 - 2 a 4 1 b + ¡ x = راه حل خوارزمی ، در واقع عبارت است از تبدیل کردن عبارت دست چپ معادله به یک مربع کامل از راه افزودن مقدار 2 a 4 1 به دو طرف معادله . به عبارت دیگر، الگوریتم خوارزمی را به این صورت می توان نشان داد:



+ ax = b 2 x

ذ

2 a 4 1 = b + 2 a) 2 1 + ax + ( 2 x

ذ

2 a 4 1 = b + 2 a) 2 1 (x +

ذ

2 a 4 1 b + ¡ a = 2 1 x +

ذ

a 2 1 - 2 a 4 1 b+ ¡ x =

این معادله همواره یک جواب مثبت دارد. پیداست که خوارزمی در این الگوریتم تلویحاً از اتحاد pq 2 + 2 + q 2 = p 2 (p + q) استفاده کرده است . در مورد معادلات (5) و (6) روش خوارزمی اساساً یکسان است ، جز اینکه در مورد معادلة + a = bx 2 x قید می کند که معادله ممکن است دو جواب مثبت داشته باشد یا جواب نداشته باشد (ص 21).

جبر دو جمله ایها. بخش دیگری از کتاب خوارزمی (ص 27ـ 34) که تنها در چند دهة اخیر مورد توجه قرار گرفته و با این حال از لحاظ تحول علم جبر بسیار حائزاهمیت است ، بخشی است که به بیان سه عمل اصلی (جمع ، تفریق و ضرب ) بر روی دوجمله ایها اختصاص دارد. خوارزمی ابتدا به بیان قواعدی در مورد جمع و تفریق یک جمله ایها می پردازد که معادل است با دستورهای

ax + bx = (a+b)x

و

) ax - bx = (a - b)x به شرط (a> b

برای بیان قواعد ضرب دو جمله ایها، وی نخست (ص 27ـ 28) قاعدة ضرب دو عدد دو رقمی در مبنای 10 را به صورت زیر شرح می دهد :

c+ d)= 10 a + b). ) 10 = ( 10 cd . 10 ab

+ bd 10 + bc. 10 + ac. 2 10 ac.

سپس (ص 28ـ30) قاعدة ضرب دو دو جمله ای را بیان می کند:

+ ad . x + bc . x + bd 2 (ax + b) . (cx + d) = ac . x



+ bc . x - ad . x - bd 2 (ax + b) . (cx - d) = ac . x



- ad . x - bc . x + bd 2 (ax - b) . (cx - d) = ac . x



از شیوة بیان خوارزمی پیداست که وی یک دو جمله ای را به صورت یک عدد دورقمی در مبنای x در نظر می گیرد، و آنگاه قواعد ضرب دو عدد دو رقمی در مبنای 10 را در بارة این عدد دو رقمی در مبنای x به کار می برد:



x . cd x (ax + b). (cx + d) = ab

همچنین در این روابط ، خوارزمی ، به طور ضمنی ، قواعدِ

(+b) = + (ab) * (+a)



(-b) = - (ab) * (+a)



(+b) = - (ab) * (-a)



(-b) = + (ab) * (-a)



را، که در آن 0 a,b> ، به دست می دهد. با این حال ، مفهوم عدد منفی در کتاب خوارزمی وجود ندارد.

بدین ترتیب ، برخلاف ریاضیات بابلی و «جبرِ هندسی » یونانی ، که برای حل چند حالت خاص به «انواع اندیشه های بدیع » متوسل می شدند، در کتاب جبر و مقابلة خوارزمی ، همة انواع معادلات به «چند نوع استاندارد تحویل می شود که به کمک چند قاعده قابل حل اند» ( رجوع کنید به گاندز ، ص 542). پیش از خوارزمی ، استخراج مجهول از راه عملیات حسابی بر روی داده های عددیِ مسئله انجام می گرفت ، اما خوارزمی ، با معرفی دو جمله ایهای جبری و عملیات بر روی آنها، در واقع موجودات جدیدی را معرفی می کند که عدد نیستند ولی از روی الگوی اعداد ساخته می شوند. البته خوارزمی این موجودات را تعریف دقیق نمی کند. «بدین طریق ، جبر در آغاز، به صورت نوعی حساب ظاهر می شود که از «لوژیستیک » کلی تر است ــ زیرا به کمک جبر می توان مسائل «لوژیستیک » را دقیق تر حل کرد ــ و نیز از «هندسة متریک هم کلی تر است » (راشد، 1997، ص 34). این کار خوارزمی سرآغاز جریانی است که رشدی راشد (1984، ص 30) آن را «حسابی کردن جبر» می نامد. بدین معنی که این علم به صورت نوعی حسابِ تعمیم یافته و کلی ظاهر می شود که قواعد خود را از روی قواعد حساب می سازد. این کار بعدها در مکتب کَرَجی به اوج خود می رسد. از سوی دیگر، از همان کتاب خوارزمی ، کوششی برای آنکه این قواعد به کمک ترسیمات هندسی بُرهانی شوند، دیده می شود.

توجیه هندسی الگوریتمها. بخشی از کتاب خوارزمی (ص 21ـ 27) به توجیه هندسی دستورهای حل معادلات (4) تا (6) اختصاص دارد. این کار، هرچند آن را نمی توان اثبات به معنای متعارف نامید، به هرحال کوششی است برای آنکه الگوریتم از راه رسم یک شکل هندسی تأییدشود. خوارزمی این شکلهارا «علتی » می نامدکه «دلیل نصف کردنِ ضریب مجهول را بیان می کند». شکل 4 استدلال خوارزمی رادرموردمعادلة شمارة 4 نشان می دهد(ص 22):













در این شکل ، هر ضلع مربع ABCD مساوی است با مقدار مجهول x و مساحت این مربع مساوی است با 2 x . ضلعهای هریک از مستطیلهای ABEF و BCGH و CDIJ و DAKL برابرند با x و 4 a . بنابراین ، مجموع مربع میانی و چهار مستطیل برابر است با + ax 2 x ، که طبق فرض مسئله برابر است با b . اگر به این مجموع چهار مربع گوشه ای را اضافه کنیم ، مربع بزرگِ حاصل از یک سو برابر است با 4 2 + ax + a 2 x یا 2 ) 2 (x +a و از سوی دیگر برابر است با 2 a 4 1 b + . بنابراین



2 a 4 1 = b + 2 ) 2 (x + a



2 a 4 1 b + ¡ = 2 x + a



2 - a 2 a 4 1 b+ ¡ x =



جبر از خوارزمی تا کرجی . اهمیت کتاب جبر و مقابلة خوارزمی ، به رغم حجم کم وسادگی ظاهری مطالب آن ، در همان قرن سوم شناخته شد. نشانة این توجه رساله هایی است که در قرنهای سوم و چهارم در این موضوع نوشته شده است که هرچند بسیاری از آنها از میان رفته ، اما بعضی از آنها که به دست ما رسیده بر تأثیر خوارزمی و کتاب او گواهی می دهند. برخی از این آثار از دست رفته عنوان «الجبر و المقابلة » دارند، مانند کتاب الجبر و المقابلة ابوحنیفه دینوری (متوفی 290؛ ابن ندیم ، ص 86؛ حاجی خلیفه ، ج 2، ستون 1407) و نیز کتاب احمدبن محمدبن طیّب سرخسی (متوفی 286؛ رجوع کنید به حاجی خلیفه ، همانجا) و برخی دیگر شرح بر جبر و مقابلة خوارزمی اند، مانند شرح الجبر و المقابلة للخوارزمی از سنان بن فتحِ حرانی * (ابن ندیم ، ص 339ـ340). در واقع از سنان بن فتح رساله ای در جبر، به نام کتابٌ فیه الکعبُ و المالُ و الاعدادُ المتناسبة ، باقی مانده (راشد، 1997، ص 31، پانویس 4)، اما معلوم نیست که این رساله همان شرح کتاب خوارزمی باشد. در این رساله معادلاتی که شامل جمله های p 2 n+ ax و n+p bx و n cx هستند به معادلات درجة دوم تبدیل شده اند (انبوبا، ص 78ـ79) و نیز شرح کتاب محمدبن موسی الخوارزمی فی الجبر از عبداللّه بن حسین صیدنانی (ابن ندیم ، ص 338)، و تفسیر کتاب الخوارزمی فی الجبر و المقابلة از ابوالوفای بوزجانی * (همان ، ص 341). غالب این آثار در همان قرن سوم و اثر اخیر پیش از سال 377 که سال تألیف نهایی الفهرست ابن ندیم است نوشته شده اند.

در الفهرست ابن ندیم (ص 334) کتابی به نام کتاب الجبر و المقابلة به سَنَد (یاسِنْد)بن علی ، ریاضیدان معاصر خوارزمی ، نسبت داده شده است ، اما چون ابن ندیم به سندبن علی * کتابی هم به نام کتاب الحساب الهندی نسبت می دهد (همانجا)، این احتمال هست که زندگینامة او با زندگینامة خوارزمی ، که در الفهرست درست پیش از سندبن علی آمده ( رجوع کنید به ص 333)، در استنساخ کتاب الفهرست درهم آمیخته و برخی از آثار خوارزمی جزء آثار سندبن علی آمده باشد ( رجوع کنید به سوتر ، ص 13ـ 14؛ نیز رجوع کنید بهقربانی ، ص 274ـ275)، به ویژه که در نسخ موجود الفهرست هیچ یک از دو کتاب الحساب الهندی و کتاب الجبر و المقابلة ، که به گواهی منابع دیگر مسلّماً از خوارزمی است ، جزء آثار خوارزمی ذکر نشده است . سزگین (ج 5، ص 243) به نقل از پل سبَث آورده که نسخه ای از کتاب سندبن علی در حلب موجود بوده است . اما ممکن است این قول ، مانند پاره ای دیگر از گفته های سبث ، شتابزده و بر پایة وارسی ناقص نسخه باشد. به هر حال ، این نسخه اکنون ظاهراً موجود نیست .

از میان آثار جبری بازمانده از این دوران ، برخی که اندکی پس از زمان خوارزمی تألیف شده است بر کوشش ریاضیدانان آن زمان برای تکمیل کار خوارزمی دلالت دارند. ریاضیدانی به نام عبدالحمیدبن واسع ابن ترک ختلی (یا جیلی ، یا جبلی ) رساله ای در جبر تألیف کرده بوده که تنها بخشی از آن که

به اثبات هندسی الگوریتمها اختصاص دارد به دست ما رسیده است ( رجوع کنید به صاییلی ، 1985). در این بخش ، ابن ترک برخی از براهین هندسی خوارزمی را دقیق تر کرده و به ویژه در بارة وجود ریشه (یعنی ریشة مثبت برخی از «مقترنات ») بحث کرده و حالاتی را که معادله ریشة مثبت ندارد مشخص کرده است . به روایت حاجی خلیفه (ج 2، ستون 1408) نوة ابن ترک ، به نام ابوبرزه ، که او هم ریاضیدان بوده (ابن ندیم ، ص 339) مدعی فضل تقدم نیای خود بر خوارزمی در ابداع علم جبر شده بوده و ابوکامل شجاع بن اَسلَم ، در مقدمة دو اثر خود، که ظاهراً اکنون از میان رفته اند، این ادعا را رده کرده بوده است . آنچه احتمال تقدم ابن ترک را بر خوارزمی کاهش می دهد این است که ابن ندیم (ص 339) ابوالفضل عبدالحمیدبن واسع بن ترک ختلی را در زمرة «الحُسّاب و اصحاب الاعداد المُحدَثون »، و پس از طبقة خوارزمی ، ذکر می کند. با این حال بلاذری (متوفی ح 279) از او با عبارت «حَدَّثنی عبدالحمیدبن واسع الختلی الحاسب » روایت می کند (1407، ص 407). اما چون بلاذری از خوارزمی هم مستقیماً روایت می کند ( رجوع کنید به 1398، ج 3، ص 264ـ265)، می توان نتیجه گرفت که ابن ترک معاصر خوارزمی و احیاناً کمی از او جوان تر بوده است ( رجوع کنید به جیلی * ، عبدالحمید). ریاضیدانان دیگر، مانند سنان بن فتح نیز بر فضل تقدم خوارزمی گواهی داده اند (راشد، 1997، ص 31، پانویس 4).





کوشش برای تعبیر هندسی دقیق معادلات جبری درجة دوم در رسالة فی تصحیح مسائل الجبر بالبراهین الهندسیة ( رجوع کنید بهلوکی ، ص 110ـ112؛
راشد، 1997، ص 35) اثر ثابت بن قرّة حَرّانی (221ـ 288) به صورت جدّی تری ادامه می یابد. واژة «تصحیح » را در عنوان این رساله باید به معنای «اثبات صحت » یا اثبات گرفت ، و بنابراین هدف ثابت این است که نشان دهد که الگوریتمهایی که خوارزمی برای حل معادلات درجة دوم به دست داده درست اند. اثباتهای ثابت هندسی است ، اما بر خلاف خوارزمی و ابن ترک که تعبیر خود را بر ترسیم اشکال هندسی استوار می کنند، وی مستقیماً از قضایای پنجم و ششم مقالة دوم اصول اقلیدس استفاده می کند و میان طولهایی که در این قضایا وارد می شوند و ضرایب «مقترنات » تناظری مستقیم برقرار می کند.

ابوکامل شجاع بن اَسلَم حاسب مصری ، که در نیمة دوم قرن سوم می زیسته ( رجوع کنید به سزگین ، ج 5، ص 227ـ281) گذشته از کتابی به نام کمالُ الجبر و تمامُه و الزیادةُ فی اصولِه (حاجی خلیفه ، ج 2، ستون 1407) که ظاهراً از میان رفته است ، کتابی به نام الجبر و المقابلة دارد که تنها یک نسخة خطی عربی و یک ترجمة عبری ( رجوع کنید به لوی ، 1966) و یک ترجمة لاتینی از آن باقی مانده است . ابوکامل در مقدمة این کتاب ، انگار می خواهد به ادعاهای ابوبرزه جواب بدهد، خوارزمی را نخستین کسی می داند که در جبر و مقابله کتابی تألیف کرده و اقرار به فضل تقدم او را وظیفة همة محاسبان می داند. کتاب ابوکامل در سه بخش است . بخش اول به بررسی همان معادلات خوارزمی اختصاص دارد، با این تفاوت که هریک از مقترنات را یک بار برای x و یک بار برای 2 x حل می کند و در حل هر معادله حالات ممکن و ممتنع (یعنی حالتی که معادله ریشة مثبت ندارد) و نیز حالتی را که معادله فقط یک ریشه (یعنی ریشة مضاعف ) دارد، برحسب مقدار ضرایب مشخص می کند. همچنین ابوکامل معادلاتی با ضرایب گنگ را هم در نظر می گیرد (ابوکامل ، 1406 الف ، مقدمة هوخندایک ، ص 1ـ2). ابوکامل در اثباتهای هندسی خود (1406 الف ، ص 10) نیز صراحتاً از دو قضیة مقالة دوم اصول اقلیدس استفاده می کند و، مانند خوارزمی ، این قضایا را «علت » درستی الگوریتم موردنظر می خواند و می نویسد (ص 7): «ما علت این ( الگوریتمها ) را با قضایای هندسی بیان می کنیم تا هندسه دانانی که در کتاب اقلیدس نظر کرده اند آن را دریابند». بخش دوم کتاب ابوکامل مختص محاسبة برخی از مقادیر هندسی ، و از جمله ضلع پنج ضلعی و ده ضلعی و پانزده ضلعیِ محاط در دایره بر حسب قطر آن است . روش هندسی به دست آوردن طول ضلع پنج ضلعی منتظم محاط در دایره در قضیة یازدهم از مقالة سیزدهم اصول اقلیدس (ج 3، ص 461ـ466) بیان شده ، اما ابوکامل مقدار عددی ضلع این چند ضلعیها را به دست می آورد، بدین معنی که به دست آوردن ضلع چند ضلعی را به حل یک معادلة درجة دوم تبدیل می کند. مثلاً به دست آوردن ضلع پنج ضلعی منتظم محاط در دایره ای به شعاع 10 به حل معادلة دومجذوری 2 x 125 = 3125 + 4 x منجر می شود (ابوکامل ، 1406 الف ، ص 134ـ 135). ابوکامل با این کار نه تنها معادلات از درجة چهارم (ولی قابل تبدیل به معادلات درجة دوم ) را در نظر می گیرد بلکه ریشة این معادلات را هم که عموماً مقادیر گنگ است به صورت عدد تلقی می کند. در واقع ، او میان دو سنّت یونانی ، که یکی محاسبة مقدار تقریبی مقادیر هندسی است ، مانند محاسبة وتر زاویة یک درجه به صورتی که مثلاً در کتاب مجسطی بطلمیوس (ص 48ـ56) دیده می شود، و دیگری ترسیم دقیق این مقادیر از راه هندسی ، پُلی می زند و با این کار این مقادیر را ریشة یک معادلة جبری درجة دوم ، یا معادلة دو مجذوری ، تلقی می کند. در مقالة سوم ، ابوکامل به حل چند معادلة سیال و چند دستگاه معادلات سیال می پردازد. در این مقاله تأثیر کتاب الحساب دیوفانتوس ، که اندکی پیش از زمان ابوکامل به عربی ترجمه شده بود محسوس است . بر کتاب الجبر و المقابلة ابوکامل ، علی بن احمد عِمرانی * (متوفی 344) شرحی نوشته بوده (ابن ندیم ، ص 341) که اکنون در دست نیست . از ابوکامل رساله ای نیز به نام الطرائف فی الحساب ( رجوع کنید بهابوکامل ، 1406 ب ) در دست است که موضوع آن حل معادلات سیال مرتبة اول به صورت ax + by + cz + ... + pt = m است . ابوکامل ، بر خلاف دیوفانتوس ، تنها به جوابهای صحیح این معادلات توجه دارد و نه به جوابهای گویای آنها.

تأثیر زبان جبری خوارزمی در کتاب معرفة مساحة الاشکال البسیطة و الکریة بنوموسی * ( رجوع کنید به بنوموسی ، ص 58ـ137) نیز محسوس است ، که پیش از سال 259 (سال درگذشت محمدبن موسی که بزرگ ترین سه برادر است ) تألیف شده است . بنوموسی در این اثر، بر خلاف سنّت ریاضیات اقلیدسی و ارشمیدسی ، مساحت یا حجم یک شکل را نه برحسب مساحتی دیگر بلکه به صورت حاصل ضرب بیان می کنند ( دائرة المعارف بزرگ اسلامی ، ج 12، ص 694) و، به بیان دیگر، مقادیر هندسی را به صورت عدد در نظر می گیرند. این امر اگر هم بر تأثیر مستقیم کتاب خوارزمی دلالت نکند، حاکی از تأثیر غیرمستقیم علم نوپای جبر در زبان ریاضی آن روز است . این تأثیر در ترجمة کتاب الحساب دیوفانتوس هم دیده می شود. این



کتاب ، که بنا بر استدلال راشد (دیوفانتوس اسکندرانی ، مقدمة راشد، ص XXII-XVI ) در حدود سال 250، و نه چنانکه تاکنون گمان برده اند در اواخر قرن سوم ، به دست قسطابن لوقای بعلبکی * به عربی ترجمه شده ، در ترجمه صناعة الجبر نام گرفته است (ابن ابی اصیبعه ، ج 1، ص 245). گذشته از این ، واژگان این کتاب ، در ترجمة عربی آن سخت تحت تأثیر واژگان جبری است (دیوفانتوس اسکندرانی ، ج 3، مقدمة راشد، ص L ). کتاب الحساب دیوفانتوس ، «هرچند به مفهومی که خوارزمی در نظر دارد کتاب جبر محسوب نمی شد، اما حاوی روشهایی مانند روشهای جایگزینی و حذف و تغییرِ متغیّر است » که در محاسبات جبری بسیار به کار می آیند (راشد، 1997، ص 38). از همین رو، مترجم این کتاب قسطابن لوقا، بر سه مقاله و نیم از آن (ابن ندیم ، ص 353) و ابوالوفای بوزجانی (328ـ 388) ظاهراً بر تمامی آن شرح نوشته است ( رجوع کنید بهابن ندیم ، ص 341). ابوالوفا کتاب دیگری به نام کتاب البراهین علی القضایا التی استعمل ذیوفنطس فی کتابه و علی ما استعمله هو فی التفسیر (همانجا) داشته و در آن ، چنانکه از عنوانش پیداست ، برای قضایای کتاب الحساب دیوفانتوس و نیز قضایایی که خود او در شرح آن به کار برده بوده اثباتهایی ارائه کرده بوده است .

کرجی و مکتب او. تأثیر آشنایی جبردانان اسلامی با کتاب الحساب دیوفانتوس در آثار کرجی ، ریاضیدان قرن چهارم هجری و مکتب او، به ویژه خلف او سموأل بن یحیی مغربی * دیده می شود. از زندگی کرجی تقریباً هیچ نمی دانیم ، جز اینکه احیاناً از مردم یکی از شهرهایی که کَرَج نام داشته اند (و شاید هم اهل کَرخ ) بوده و بخش اخیر زندگی خود را در ولایات جبال به کار مهندسی و به ویژه حفر قنات گذرانده است . از او، جز کتابی در استخراج آبهای پنهانی ، رساله های چندی در جبر و حساب باقی مانده است ، که از آن میان دو رسالة البدیع و الفخری ، که به نام فخرالملک وزیر نوشته شده (کرجی ، 1406، ص 97؛
نیز رجوع کنید بهقربانی ، ص 391ـ392)، به ویژه در خور ذکر است . به گفتة ابن خلّکان (ج 5، ص 125ـ126) این فخرالملک ابوغالب محمدبن علی بن خلف (مقتول در 407) وزیر بهاءالدوله و سلطان الدولة دیلمی است و کرجی کتاب الکافی خود را هم برای او نوشته بوده است . از میان دو شاخة جبر، کار کرجی بیشتر در حوزة تکمیل حساب جبری ، یعنی عملیات بر روی عبارات جبری ، قرار می گیرد و به گفتة ووپکه (ص 4) «وی کامل ترین و در واقع تنها نظریة حساب جبری را که تاکنون در نزد عرب زبانها سراغ می توان گرفت عرضه کرده است » (البته ووپکه آثار سموأل را نمی شناخته است ). هدف کرجی ، که کمابیش به آن تصریح می کند، این است که علم جبر را به صورت علمی مستقل از هندسه مطرح کند و به ویژه گریبان خود را از نمایش هندسی عملیات جبری رها کند (راشد، 1984، ص 32؛
انبوبا، ص 24). از این جهت ، کار او از یک سو ادامة سنّتی است که خوارزمی با معرفی عملیات بر روی دو جمله ایهای جبری بنیان نهاده بود و از سوی دیگر مبتنی بر امکاناتی است که بر اثر کشف و ترجمة کتاب الحساب دیوفانتوس در اختیار قرار گرفته و به دست ریاضیدانانی چون ابوالوفای بوزجانی گسترش یافته بود (راشد، 1984، همانجا). با تکیه بر این دو سنّت ، کرجی توفیق می یابد که نخستین نظریة جبر چندجمله ایها را به دست دهد.

در الفخری کرجی به بررسی توانهای جبری می پردازد ( رجوع کنید بهص 98ـ99) و آنگاه عملیات حسابی را در مورد جمله ها و عبارات جبری بیان می کند. وی با بررسی دو رشتة



,... 9 ,..., x 2 x , x

و

, ... 9 x 1 , ... , 2 x 1 x , 1



قواعد زیر را به دست می آورد (ص 99ـ101) :



= ... 3 x 1 : 2 x 1 = 2 x 1 x : 1 ) 1 )



1 n- x n = x n x 1 : 1 n- x 1 x , ... , = 2 = x 2 x 1 x : 1 ) 2 )



= m x 1 . n x 1 ,... , 3 x 1 x = 1 . 2 x 1 , 2 x 1 x = 1 x . 1 ) 3 )



,...) 3 , 2 , 1 (m, n = m+n x 1



, = m .x n x 1 x , ... , 3 = x 3 x.x 1 x , 2 = x 2 x. x 1 ) 4 )



,...) 3 , 2 , 1 (m, n = n x m x



در مورد عملیات جبری بر روی چند جمله ایها، کرجی نخست قواعد ضرب و تقسیم یک جمله ایها را به دست می دهد و آنگاه به قواعد ضرب و تقسیم چند جمله ایها می پردازد. الگوی او برای چندجمله ای ، یا به اصطلاح کرجی «کمیات مرکّب »، یک عدد دهدهی با مقادیر اعشاری است . همچنانکه در مورد خوارزمی دیدیم ، چند جمله ای در واقع عبارت می شود از بسط عددی در مبنای x به صورت



x ) m ... b 2 b 1 . b 0 a ... 1 n- a n F(x) = (a



x 1 * 1 b ...+ a + 2 n- x * 2 n- a + 1 n- x * 1 n- a + n x * n = a



n m 0 i= 1 j= j x 1 j b  + i x i a  = m x 1 * m ...b + 2 x 1 * 2 +b





در مورد ضرب چند جمله ایها، روش کرجی کاملاً کلی است ، اما در مورد تقسیم چند جمله ایها وی تنها قواعد تقسیم یک جمله ای بر یک جمله ای و تقسیم چند جمله ای بر یک جمله ای را به دست می دهد. در مورد استخراج جذر، روش وی کلی است اما به حالتی که ضرایب چند جمله ای مثبت باشند محدود می شود (راشد، 1984، ص 34).

کرجی قواعد حساب را در مورد کمیاتهای گنگ نیز به کار می برد. هدف او این است که نشان دهد که این قواعد وقتی در مورد کمیات گنگ به کار روند ویژگیهای خود را حفظ می کنند. اما مشکلی که بر سر راه دارد این است که چگونه می توان ، بدون در دست داشتن مفهوم اعداد حقیقی ، عملیات حسابی را در مورد این اعداد به کار برد، زیرا آنچه جبردانان در اختیار داشتند در واقع مجموعة اعداد گویا بود. در اینجا کرجی بار دیگر به کتاب اصول اقلیدس متوسل می شود و تعریف خود را از عدد بر تعریف اقلیدس مبتنی می کند. همچنین مفاهیم ناهمسنجه و گنگ را بر اساس مقالة دهم اصول اقلیدس تعریف می کند. با این حال ، باید به یاد داشت که در نظر اقلیدس ، و شارحان او چون پاپوس ، «این ویژگیها ذاتاً هندسی اند، و ناهمسنجگی و گنگی در مورد اعداد نمی تواند وجود داشته باشد. اعداد همواره گویا و همسنجه اند» (و ذلک انّ المتباین و الاصمّ، اَمّا فی الاعداد فغیر موجودة بل الاعداد کلّها مُنطقة و مشترکة ؛
رجوع کنید به پاپوس اسکندرانی ، ص 193؛
راشد، 1984، ص 35). کرجی البته نمی تواند کاربرد این مفاهیم را در مورد اعداد توجیه کند. تنها توجیه ، به نظر راشد، تصوری است که او از جبر داشته است : چون کمیات هندسی (طولها) و اعداد می توانند به یکسان مقدارِ مجهول یک معادلة جبری قرار گیرند، بنابراین می توان قواعد حسابی یکسانی را دربارة آنها به کار برد (راشد، 1984، ص 35). به این دلیل است که وی می نویسد: «من نشان می دهم که این مقادیر ( ناهمسنجه ، گنگ ) را می توان به عدد تبدیل کرد» (کرجی ، 1964، ص 29؛
نیز رجوع کنید بهراشد، 1984، ص 36).

به این طریق است که کرجی کار تعبیر جبری مطالب مقالة دهم کتاب اصول اقلیدس را، که در نظر عموم ریاضیدانان یونانی یک مقالة هندسی محض بود، پیش می برد. پیش از او، در حدود نیمة قرن سوم ، محمدبن عیسی ماهانی * (متوفی ح 275؛
رجوع کنید بهقربانی ، ص 431) تعبیری عددی از کمیتهای گویا و گنگ مقالة دهم به دست داده بود ( رجوع کنید به بن میلاد، 2004، ص 28؛
همو، 1999، ص 89 ـ156). ماهانی تعریفی از کمیات گنگ و همراه آن نخستین طبقه بندی کمیاتی را که به کمک رادیکالها ساختنی اند، به دست داده بود که در آن این کمیات به گویا و گنگ تقسیم می شوند. وجه مشترک این دو گروه این است که هر دو می توانند جواب معادلات خوارزمی باشند. پس از آن نیز چند ریاضیدان از نظریة جبری معادلات درجة دوم برای ترجمة برخی از قضایای مقالة دهم اصول به زبان جبری استفاده کرده بودند (بن میلاد، 2004، همانجا). از لحاظ کرجی ، مفاهیمی که در این مقاله آمده است ، با کمیات به طور کلی سروکار دارند و بنابراین در حوزة علم جبر قرار می گیرند (راشد، 1984، ص 36). کرجی به کمیات گویا و گنگ به چشم متغیرهای نامعیّن نگاه می کند و مقادیر خاص آنها تحت الشعاع عملیاتی قرار می گیرد که بر روی این کمیات انجام می شود. «کمیات گویا و گنگ دیگر به کمک پاره خطها معرفی نمی شوند و، برای اولین بار، منزلتی صرفاً عددی پیدا می کنند. به این دلیل است که کرجی بارها از «عدد گویا» و «عدد گنگ » سخن می گوید» ( رجوع کنید به بن میلاد، 2004، ص 50 ـ51). به گفتة سموأل بن یحیی مغربی (ص 19) «کرجی در همة آثار حسابی اش ، وقتی از «عدد» سخن می گوید منظورش کمیتِ معدود است ، منظور او عددی نیست که واحدش تجزیه ناپذیر است » (نیز رجوع کنید به بن میلاد، 2004، ص 51، پانویس ).

به این طریق کرجی موفق می شود دستورهایی جبری برای گویا کردن کمیات گنگ به دست دهد. وی این کار را نخست در بارة تک جمله ایها انجام می دهد و قواعدی برای محاسبة

n n n n m 2 x ¡ . 1 x ¡ , 2 x ¡ . 1 x ¡ , 2 x ¡ 1 X ) 1 )



n n n m 2 x ¡ : 1 x ¡ , 2 x ¡ : 1 x ¡ ) 2 )



n n 2 x ¡ 1 x ¡ ) 3 )



به دست می آورد. سپس همین روش را در مورد چند جمله ایها به کار می بندد و از جمله قواعدی برای محاسبة عباراتی چون

2 x ¡ + 1 x ¡ ¡ , 3 x ¡ 4 + 2 x ¡ 4 1 x , 2 x ¡ _ 3 x ¡ 1 x ¡



به دست می دهد (راشد، 1984، ص 36ـ37).

کرجی در یکی از آثار گمشدة خود، که سموأل بخشی از آن را نقل کرده ، ضرایب بسط n (a+b) را محاسبه کرده است و از این نظر بر پاسکال که این ضرایب (مثلث پاسکال ) به نام او معروف است ، و نیز بر خیام ، که او نیز گاهی کاشف این ضرایب شمرده می شود، فضل تقدم دارد. مهم تر اینکه ، برای به دست آوردن این ضرایب ، کرجی از نوعی برهان ریاضی که امروزه به «استقراء ریاضی » معروف است استفاده می کند، و از این نظر نیز در کشف این روش بر پاسکال و یا لِوی بن گِرشون ریاضیدان یهودی فرانسوی (1288ـ1344) که پیش از این کاشف این روش محسوب می شده اند، مقدّم است (راشد، 1972، ص 1ـ21).

بر پایة کار کرجی ، سموأل بن یحیی مغربی (متوفی ح 570)، در الباهر ، نخستین روش کلی برای عملیات روی چندجمله ایها را به دست می دهد. کار او نیز بر اساس شباهت میان ساختار چندجمله ایهای جبری و اعداد دهگانی است و مبتنی است بر مفهوم «رتبه » و استفاده از جداولی که عملیات جبری را

تسهیل می کند. در جدولی که برای نمونه آمده است ، رُتبة هر

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

7 x 1 6 x 1 5 x 1 4 x 1 3 x 1 2 x 1 x 1 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x

5 4 9 3 5 7 2

6 3 2 5 1 6

6 5 7 9 5 5 5 8 2 6



تک جمله ای با فاصلة آن با رتبة صفر (واحد) مشخص

می شود. ستونهای سمت چپ واحد نشانة رتبه های مثبت و ستونهای سمت راست آن نشانة رتبه های منفی اند. با این قرارداد، سطرهای سوم و چهارم این جدول نمایش تابعهای

4 x 5 + 2 x 4 x + 9 + 3 x + 5 + 3 x 7 + 4 x 2 f(x) = و

5 x 6 + 2 x 3 + 2 + 2 x 5 + 3 + x 5 x 6 g(x) =

و سطر پنجم نمایش مجموع این دو تابع ، یعنی



5 x 6 + 4 x 5 + 2 x 7 + x 9 + 5 + x 5 + 2 x 5 + 3 x 8 + 4 x 2 + 5 x 6 g(x)= f(x) +

است . به کمک این گونه جدولها عملیات جبریِ دیگر را نیز روی چند جمله ایها می توان انجام داد.

خیام و نظریة هندسی معادلات درجة سوم . اگر آثار کرجی و مکتب او را اوج جریان حسابی کردن جبر به شمار بیاوریم ، آثار جبری خیام را می توان نقطة اوج جریان هندسی کردن جبر در جهان اسلام دانست . از خیام دو رساله در جبر باقی مانده است ، یکی به نام رسالة فی الجبر و المقابلة که موضوع آن طبقه بندی و حل معادلات با درجة کوچک تر یامساوی سه است و دیگری رساله ای که فی قسمة ربع الدائرة نام دارد، و پیش از رسالة فی الجبر و المقابلة تألیف شده و به حل یک مسئلة هندسی خاص به روش جبری می پردازد و نیز طبقه بندی دیگری برای معادلات با درجة کوچک تر یا مساوی سه عرضه می کند. اهمیت رسالة دوم در این است که خیام در آن تاریخچه ای از مسائلی را که حل آنها به یافتن ریشة معادلات درجة سوم منجر می شود به دست می دهد. همچنین در این رساله ، به خلاف رسالة الجبر و المقابلة که روشی کاملاً ترکیبی دارد، مسئلة مورد نظر به شیوة تحلیلی نیز بررسی می شود، و از این نظر این رساله مدخل مهمی است برای آشنایی با راهی که خیام برای رسیدن به روشهای حل معادلات ، که در رسالة الجبر و المقابلة ارائه شده ، پیموده است .

ریاضیدانان یونانی دریافته بودند که حل برخی از مسائل هندسی به آسانی با خط کش و پرگار ممکن نیست . ازاین رو کوشش می کردند که از راه «تحلیل » این مسائل را به مسائلی ساده تر که حل آنها شاید آسان تر باشد، تبدیل کنند. از آن جمله اند سه مسئلة معروف و کلاسیک تضعیف مکعب * ، تربیع دایره * و تثلیث زاویه * .

در مسئلة تضعیف مکعب ، هدف یافتن ضلع مکعبی است که حجم آن دو برابر مکعب مفروضی باشد. به زبان علائم جبری ، اگر ضلع مکعب مفروض را به a و ضلع مکعب مطلوب را به x نمایش دهیم ، مسئلة تضعیف مکعب به حل معادلة

3 a 2 = 3 x منجر می شود که معادله ای است از درجة سوم . ریاضیدانان یونانی ، بی آنکه این راه را طی کنند، یعنی معادله ای بنویسند، دریافته بودند که مسئلة تضعیف مکعب را می توان به «درج دو واسطه میان دو مقدار معلوم » تبدیل کرد. منظور از

این اصطلاح ، یافتن مقادیر (طولهای ) x و y است که در روابط

x = by y xa = صدق کنند. از ضرب این روابط به دست می آوریم :

= ay 2 x (1)

xy = ab (2)

رابطة (1) معادلة یک سهمی به رأس مبدأ مختصات و

رابطة (2) معادلة یک هذلولی متساوی الساقین است که مجانبهای آن محورهای مختصات اند. به این طریق حل مسئلة «درج دو واسطه در میان دو مقدار معلوم » (و در نتیجه حل مسئلة تضعیف مکعب ) به یافتن نقاط تقاطع یک سهمی و یک هذلولی معلوم منجر می شود.

این نحوة بیان و استفاده از معادلات نباید ما را در مورد روش یونانیان به اشتباه بیندازد. مسئلة تضعیف مکعب برای ایشان یک مسئلة هندسی صرف بود که به یک مسئلة هندسی دیگر، و آن نیز به یافتن نقاط تقاطع یک سهمی و یک هذلولی ، که مسئلة هندسی سومی بود، تحلیل می شد، بی آنکه ریاضیدانان یونانی در هیچ یک از مراحل تحلیل از مفاهیم جبری ای چون معادله استفاده کنند.

در دوران اسلامی ، ریاضیدانانی در صدد برآمدند تا مسائلی از این قبیل ، و نیز برخی از مسائل حسابی یا هندسی را که ضمن پژوهشهای خود ایشان پیش می آمد، به زبان معادلات ترجمه کنند. خیام (1339 ش الف ، ص 63، ترجمة فارسی ، ص 260) این کار را «استعمال واژگان اهل جبر دراین گونه مسائل » می نامد (نیز رجوع کنید به راشد و وهاب زاده ، ص 247)، و خود در رسالة فی قسمة ربع الدائرة این روش را به کار می برد زیرا «با استفاده از این واژگان ضرب و تقسیم آسان تر می شود» (نیز رجوع کنید به راشد و وهاب زاده ، ص 247). مسئله ای که خیام در این کتاب (ص 59) طرح می کند این است :







بر روی ربع دایره ای (شکل 5) نقطة G را چنان بیابید که داشته باشیم CDGH = CHHB . این مسئله از راه تحلیل

به ترسیم مثلث قائم الزوایة ABC منجر می شود به طوری که

AB + BD = AC ( BD ارتفاع وارد از رأس B بر ضلع AC است ؛
همان ، ص 63ـ64).

با فرض 10 AD = و BD = x ، ترسیم این مثلث معادل می شود با حل معادلة 2000 + 2 x 20 = x 200 + 3 x که معادله ای است از درجة سوم (همان ، ص 65ـ67). خیام در رسالة فی قسمة ربع الدائرة به تاریخچة مسائل هندسی ای که حل آنها به معادلات درجة سوم می انجامد، می پردازد. از میان مسائلی که خیام ذکر می کند یکی مسئلة ارشمیدس است ، یعنی تقسیم کره ای به دو قسمت ، به طوری که حجم قسمت بزرگ تر n برابر حجم قسمت کوچک تر باشد. ارشمیدس در کتاب کره و استوانه خود این مسئله را، از راه تحلیل ، به مسئلة زیر تبدیل می کند: دو خط AB و BC به اندازة معلوم و بر یک استقامت داده شده اند. نسبت BC بر CE معلوم است . بنابراین CE ، چنانکه در مُعطیات ( اقلیدس ) ثابت شده ، معلوم است . نقطة D را طوری به دست می آوریم که نسبت CD بر CE مساوی با نسبت 2 AB بر AD باشد.

خیام (1339 ش الف ، ص 67) پس از آنکه نخستین طبقه بندی خود از معادلات درجة سوم را عرضه می کند، می گوید که «ریاضیدانان متقدم که به زبان ما نمی نوشته اند» (یعنی ریاضیدانان یونانی ) به هیچ یک از این معادلات پی نبرده اند و یا اگر در این باره چیزی نوشته بوده اند به دست ما نرسیده است . اما در میان «همزبانان ما» (یعنی ریاضیدانان

دورة اسلامی که به عربی می نوشته اند) «ماهانی مهندس »، نخستین کسی است که در کوشش برای حل مسئلة ارشمیدس به یکی از این نوع معادلات رسیده بوده است . به گفتة خیام (1339 ش الف ، ص 67ـ 68)، ماهانی مسئلة ارشمیدس را به معادله ای به صورت + b 2 = ax 3 x تبدیل کرد و چون از حل این معادله عاجز ماند به ممتنع بودن مسئله حکم کرد. پس از آن ، ابوجعفر خازن (متوفی بین سالهای 350 و 360؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 63) راه حل این معادله را پیدا کرد و رساله ای در این باره نوشت . ابونصر عراق (متوفی بین سالهای 408 و 427؛
رجوع کنید بهقربانی ، ص 112) ریاضیدان دیگری بود که مسئلة ترسیم ضلع هفت ضلعی منتظم را «با استفاده از واژگان جبری » به حل معادلة = b 2 + ax 3 x تبدیل کرد و این معادله را با کاربرد مقاطع مخروطی حل کرد (خیام ، 1339 ش الف ، همانجا).

معادلات درجة سوم تنها از کوشش برای حل برخی از مسائل کلاسیک هندسی زاده نمی شدند، بلکه حل برخی از مسائل عددی نیز به معادلاتی از درجة سوم منتهی می شد. به نوشتة خیام (همانجا، ترجمة فارسی ، ص 264ـ 268)، ابوسهل کوهی * (نیمة دوم قرن چهارم ) و ابوالوفای بوزجانی و ابوحامد صاغانی * (متوفی 379؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 292) و برخی ریاضیدانان دیگر، که در دربار عضدالدوله دیلمی بودند، سعی کردند دستگاه 10 x + y = ، 72 + xy = 2 + y 2 x را (به شرط

x > y ) حل کنند. حل این دستگاه ، از راه تحلیل ، به معادلة

2 + ax + b = cx 3 x منجر شد که این ریاضیدانان از حل آن درماندند و سرانجام ابوالجود محمدبن لیث * ، در دربار سامانیان ، آن را حل کرد (نیز رجوع کنید به راشد و وهاب زاده ، ص 255ـ257).

پس از خیام نیز ریاضیدانان دیگری در حل حالات خاصی از معادلات درجة سوم کوشیده اند. از جمله ریاضیدانی به نام سُلَمی (قرن ششم ) در کتاب خود به نام المقدمة الکافیة فی حساب الجبر و المقابلة ، دو نوع معادلة درجة سوم را در حالت خاص حل کرده و پاسخ آنها را به کمک رادیکالها به دست آورده است (راشد، 1997، ص 40). ابن بنّای مراکشی (654ـ721؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 17) نیز در کتاب فی الجبر و المقابلة معادلة درجة سومی را با تغییر متغیر حل کرده است . نیازهای منجمان نیز در پیدایش برخی از معادلات درجة سوم مؤثر بود. مثلاً بیرونی ، برای تشکیل جدول سینوسها، معادلات 1 x + 3 = 3 x و x 3 = 1 + 3 x را تشکیل داده و آنها را از راه آزمون و خطا حل کرده است (ابوریحان بیرونی ، 1373ـ 1375، ج 1، ص 288؛
راشد، 1997، ص 54).

گزارش تاریخی خیام نشان می دهد که چگونه در اثر پیدایش علم جبر، مسائلی که پیش از آن مستقیماً از راه جستجوی مقاطع مخروطی مناسب و تقاطع آنها حل می شد، اکنون نخست به زبان معادلات ترجمه می شد و سپس با کاوش در این معادلات کوشش می شد که یک راه هندسی برای حل آنها یافت شود. با این حال ، این کوششها، چنانکه خیام گفته است ، تنها به معادلات خاصی ، آن هم با ضریب عددی خاص منجر می شد.

کار خیام نقطة تلاقی این کوششها و سنّت جبری خوارزمی است . وی همان کاری را که خوارزمی در بارة معادلات از درجة کوچک تر یا مساوی با دو کرده بود، برای معادلات با درجة کوچک تر یا مساوی با سه انجام می دهد، و با در نظر گرفتن کلیة ترکیبهای ممکن x (که وی آن را گاهی شی ء و گاهی جذر و گاهی ضلع می نامد) و 2 x و 3 x (که وی آن را «مکعب » می نامد) به دو نوع طبقه بندی این معادلات می رسد. خیام در فی قسمة ربع الدائرة (1339 ش الف ، ص 65ـ67، ترجمة فارسی ، ص 265ـ 266؛
نیز رجوع کنید به راشد و وهاب زاده ، ص 251ـ255) معادلات را بر حسب درجة آنها تقسیم می کند، و به این ترتیب به سه دسته معادله می رسد:

1) معادلات درجة اول و دوم . اینها همان شش معادلة خوارزمی اند و خیام می گوید که حل این معادلات با استفاده از «مقالة دوم » (یعنی مقالة دوم اصول اقلیدس ) ممکن می شود، «چنانکه در کتابهای جبریان آمده است ». از این عبارت پیداست که وی راه حلهای هندسی خود را برای معادلات درجة دوم (که بعداً در رسالة الجبر و المقابلة شرح خواهد داد) با راه حلهای الگوریتمی جبریان معادل می داند.

2) معادلات درجة سوم دوجمله ای (مفردات ) که عبارت اند از: 2 = ax 3 x که به معادلة درجة اول x = a تبدیل می شود، و = ax 3 x که به معادله درجة دوم = a 2 x تبدیل می شود، و = a 3 x که حل آن به طریق عددی و از راه استخراج ریشة سوم و یا به طریق هندسی و با استفاده از مقاطع مخروطی ممکن است (در واقع این معادله همان مسئلة تضعیف مکعب است که قبلاً از آن یاد کردیم ).

3) سیزده معادلة سه جمله ای وچهارجمله ای (مُقترنات ) درجة سوم که حل آنها تنها با استفاده از مقاطع مخروطی ممکن است .

وی در رسالة الجبر و المقابلة (ص 10ـ12، ترجمه فارسی ، ص 168ـ169) تقسیم بندی دیگری به دست می دهد که بر اساس تعداد جمله های هر معادله است . به این طریق سه دسته معادله به دست می آید :

1) معادلات دوجمله ای (مُفردات ) که شامل یک معادلة درجة اول ، یک معادلة درجة دوم و سه معادلة درجة سوم است . از سه معادلة اخیر، یکی به معادلة درجة اول و دیگری به معادلة درجة دوم قابل تبدیل است . معادلة سوم همان مسئلة تضعیف مکعب است .

2) معادلات سه جمله ای (مقترنات سه جمله ای ) درجة دوم یا قابل تبدیل به درجة دوم که شامل سه معادلة سه جمله ای خوارزمی و معادلات زیر است :

= cx 2 + bx 3 x

2 + cx = bx 3 x

= bx 2 + cx 3 x

در مورد سه معادلة خوارزمی ، خیام می گوید که این معادلات همانهاست که در کتابهای جبریان آمده است و از طریق هندسی آنها را برهانی کرده اند اما از راه عددی بُرهانی بر آنها نیاورده اند، و در مورد سه معادلة اخیر می نویسد که جبریان این سه معادله را معادل با سه معادلة اول دانسته اند، اما در موردی که موضوع این معادلات مقادیر اندازه پذیر («ممسوحات »، یعنی مقادیر هندسی ) باشد برهانی برای آن اقامه نکرده اند. در موردی که موضوع این مسائل عدد باشد، برهان مسئله از کتاب اصول اقلیدس روشن است وخود او هم برهان هندسی آن را ذکر خواهد کرد ( رجوع کنید به راشد و وهاب زاده ، ص 127).

بقیة معادلات را خیام (ص 11ـ12) به صورت زیر تقسیم بندی می کند. مقترنات سه جمله ای شامل :

+ cx = b 3 x

+ b = cx 3 x

= cx + b 3 x

= b 2 + cx 3 x

2 + b = cx 3 x

+ c 2 = bx 3 x

و مقترنات چهارجمله ای که آن هم شامل دو دسته می شود. دستة اول معادلاتی که در یک سمت آنها یک جمله و در سمت دیگر سه جمله وجود دارد و شامل معادلات زیر است :

+ bx = c 2 + ax 3 x

+ b = cx 2 + ax 3 x

2 + ax + b = cx 3 x

+ bx + c 2 = ax 3 x

دستة دوم از معادلات چهار جمله ای معادلاتی است که در هر طرف آنها دو جمله وجود دارد و شامل معادلات زیر است :

=bx+c 2 +ax 3 x

+c 2 +ax =bx 3 x

+cx 2 +a =bx 3 x

به این طریق 25 نوع (صنف ) معادله به دست می آید که حل 14 نوع از آنها با استفاده از مقاطع مخروطی ممکن است .

روش خیام در حل معادلات درجة سوم . چنانکه دیدیم ، جبر از نظر خیام علمی برهانی است ، و علم برهانی ، در آن زمان ، علمی بود که از روشهای هندسی استفاده کند. از این نظر، خیام نه تنها معادلات درجة سوم را به روش هندسی حل می کند بلکه برای معادلات درجات اول و دوم نیز راه حلهایی هندسی به دست می دهد که بر قضایایی از اصول اقلیدس مبتنی است . در حل معادلات درجة سوم نیز او از قضایای اصول و مُعطیات اقلیدس و دو مقالة اول مخروطات آپولونیوس استفاده می کند. این تعبیر هندسی هر چند راه حلهای خیام را از ایقان برهانی بهره مند می کند، اما در تصور او از جبر محدودیتهای ایجاد می کند. به این اعتبار، روش خیام نسبت به جبردانان پیشین ، از یک جهت پیشرفتی بزرگ و از جهت دیگر گامی به عقب محسوب می شود. تعبیر هندسی معادلات جبری سبب می شود که خیام مقادیر مجهول را به صورت طولهای هندسی در نظر بگیرد و چون از لحاظ هندسی تنها مقادیر همجنس را می توان با هم جمع کرد، در معادله ای چون +bx =c 3 x ، چون جملة 3 x از جنس حجم است ، ناگزیر ضریب b باید از جنس سطح و مقدار ثابت c نیز از جنس حجم باشد. به این دلیل ، خیام در تعبیر توانهای n x به ازای 4  n با دشواری مواجه می شود و تصریح می کند که این گونه عبارات در مورد مقادیر (یعنی کمیتهای هندسی ) «موهوم »اند و تنها در مورد اعداد، معنی دارند. خیام (1339 ش الف ، ص 64ـ65، ترجمة فارسی ، ص 262؛
نیز رجوع کنید بهراشد و وهاب زاده ، ص 249) می نویسد:

«می گویم که آنچه جبریان آن را «مال مال » ( 4 x ) می نامند، در مقادیر متصل (کمیات هندسی ) چیزی موهوم است و به هیچ وجه در اعیان خارجی وجود ندارد. بلکه الفاظ مال مال ( 4 x ) و مال کعب ( 5 x ) و کعب کعب ( 6 x ) وقتی بر مقادیر قابل اطلاق اند که این مقادیر را به عنوان عدد تلقی کنیم ».

از این رو خیام ، بر خلاف جبردانان مکتب کرجی که آزادانه عملیات جبری را بر روی همة توانهای مجهول انجام می دادند بی آنکه تصریح کنند که مقدار مجهول عدد یا مقدار یا کمیت دیگری است ، عمل ضرب را در مورد کمیات متصل تا وقتی جایز می داند که توان مجهول (و در واقع همة توانهایی که در معادله وارد می شوند) از سه تجاوز نکند. از این روست که تنها معادلات تا درجة 3 را در نظر می گیرد.

حل معادلات درجة سوم . خیام هر معادلة درجة سوم را در مراحل معیّنی حل می کند. ما این مراحل را در مورد معادلة +bx = c 3 x شرح می دهیم .

مرحلة اول : همگن کردن معادله . چنانکه گفتیم ، برای آنکه معادله معنای هندسی داشته باشد، باید همة جملات آن از یک درجه باشند. خیام کار همگن کردن معادلات را از راه انتخاب واحدهای طول و سطح و حجم انجام می دهد. واحد طول خطی است به طول واحد، واحد سطح مربعی است که طول هر یک از اضلاع آن واحد باشد و واحد حجم مکعبی است به ضلع واحد (در مورد پیشینة انتخاب واحدها در آثار بنوموسی رجوع کنید بهدائرة المعارف بزرگ اسلامی ، ج 12، ص 694). در حل این معادله ، خیام فرض می کند که AB ضلع مکعبی به مساحت b باشد. در این صورت ، بنا بر یکی از قضایای کمکی ای که

او خود اثبات کرده است ، می توان مستطیلی به ضلع BC بنا کرد، به طول که .BC=c 2 AB . بنابراین معادله به صورت .BC 2 x=AB 2 +AB 3 x در می آید.

مرحلة دوم : انتخاب منحنیها. با ضرب طرفین معادله در x خواهیم داشت :

) 2 (BC. x - x 2 = AB 4 x

و یا

2 = BC x - x 2 AB 4 x

طرفین این رابطه را مساوی با 2 y می گیریم . خواهیم داشت :



) 1 AB ) 2 y=x  2 AB 4 = x 2 y



) 2 ( 2 = BC . x - x 2 y

معادلة (1) معادلة سهمی ای است به رأس محور مختصات و پارامتر AB 1 (خیام ، 1339 ش ب ، ص 21). معادلة (2) را امروزه به صورت

4 2 = BC 2 + y 2 ) 2 (x - BC



می نویسیم که معادلة دایره ای است به مرکز ) 0 , 2 A(BC و شعاع 2 BC ، اما معادلة دایره در زمان خیام ناشناخته بوده است . در واقع خیام (همانجا) این معادله را به این صورت تعبیر می کند:

= x (BC - x) 2 y

و از این قضیه استفاده می کند که هرگاه دو خط MN و PQ یکدیگر را در نقطة O قطع کنند، شرط لازم و کافی برای آنکه

M, N, P, Q بر یک دایره باشند، این است که داشته باشیم

OQ * OP = ON * OM

با فرض OM=ON=y و PQ=BC و OP=x ، این شرط به رابطة = x (BC - x) 2 y تبدیل می شود. بنابراین ، رابطة (2) همان معادلة دایره ای می شود که به روش تحلیلی به دست می آید.

خیام (1339 ش ب ، ص 26) می گوید که چون این سهمی و دایره داده شده اند، بنابراین نقطة تقاطع آنها، که همان ریشة معادله است ، نیز داده شده است . به عبارت دیگر، وی به طور شهودی مسلّم می گیرد که این دو منحنی یکدیگر را قطع می کنند (شکل 6).





در مورد معادلات دیگر، روش خیام اصولاً یکسان است . منحنیهایی که وی از آنها استفاده می کند عبارت اند از دایره و سهمی (در مورد معادلة +ax=b 3 x ) و سهمی و هذلولی متساوی الساقین (در مورد سایر مقترنات سه جمله ای ). از میان مقترنات چهار جمله ای ، معادلات

+ bx = c 2 + ax 3 x

2 + bx + c = ax 3 x

+ c 2 + bx = ax 3 x

از راه تقاطع یک دایره و یک هذلولی و چهار معادلة دیگر از راه تقاطع دو هذلولی حل می شوند. با این حال خیام ، چون همواره یک شاخة هذلولی متساوی الساقین را در نظر می گیرد، در حالاتی هم که معادله می تواند سه ریشة مثبت داشته باشد تنها یک ریشة مثبت آن را به دست می آورد.

شرف الدین طوسی و دنبالة کار خیام . تا این اواخر تصور می شد که رسالة جبر خیام نقطة اوج علم جبر در عالم اسلام است ، اما با کشف رسالة المعادلات از شرف الدین طوسی * ، ریاضیدان ایرانی قرن ششم ، معلوم شد که پس از خیام نیز ریاضیدانانی برنامة او را ادامه داده اند. المعادلات رساله ای است در جبر که تنها تلخیصی از آن به دست ما رسیده و کاتب در مقدمه (طوسی ، ج 1، ص 2) آن را تلخیص صناعة الجبر و المقابلة نام داده و گفته که عبارات آن را تلخیص و جداول آن را حذف کرده است . با اینکه بدون این جداول درک مقصود طوسی ، به خصوص در مورد حل معادلات عددی بسیار دشوار است ، رشدی راشد توانسته است این کتاب را بازسازی و

تحلیل کند.

بر خلاف روش خیام که جبری و کلی است ، روش طوسی تحلیلی و موضعی است (راشد، 1997، ص 46). وی معادلات را بر حسب اینکه ریشة مثبت دارند یا ندارند طبقه بندی می کند. به این ترتیب هشت معادله که همواره ریشة مثبت دارند و پنج معادله که «ممکن است حالات ناممکن داشته باشند» (یعنی ریشة مثبت نداشته باشند) به دست می آورد. در مورد معادلاتی که ریشة مثبت دارند وی ، مانند خیام ، از دو مقطع مخروطی استفاده می کند و ریشة معادله را از راه تقاطع این مقاطع به دست می آورد و نیز مانند خیام ریشه های منفی را نادیده می گیرد. خیام تنها به طور شهودی وجود ریشه را مفروض می گیرد، اما طوسی با استفاده از واژه های «درونی » و «بیرونی » در مورد دو مقطع مخروطی ای که در حل معادله به کار می رود، نشان می دهد که این ریشه وجود دارد (همان ، ص 46ـ47).

در بخش دوم المعادلات ، طوسی به بررسی معادلاتی که ممکن است ریشة مثبت نداشته باشند، می پردازد. این معادلات عبارت اند از:

2 + c = ax 3 x

+ c = bx 3 x

+ c = bx 2 + ax 3 x

2 + bx + c = ax 3 x

+ bx 2 + c = ax 3 x

برای بررسی حالتی که ریشة مثبت وجود ندارد، طوسی هر یک از این معادلات را به صورت f(x)=c می نویسد، که در آن f(x) تابعی چند جمله ای از درجة سوم و c مقدار ثابت معادله است . به این ترتیب ، بررسی وجود ریشة مثبت به بررسی نقاط تقاطع تابع y=f(x) و تابع ثابت y=c منتهی می شود. برای این کار، طوسی رفتار تابع y=f(x) را بررسی می کند تا مقدار بیشینة این تابع را، که وی آن را بزرگ ترین عدد (العددالاعظم ) می نامد به دست آورد. وی نقطه ای به مختصات ( 0 , y 0 x ) را که در آن تابع بیشینه می شود و نیز مقادیر 0 f(x)= ، یعنی نقاط برخورد منحنی نمایش تابع را به محور x ، به دست می آورد. با این کار حدود ریشة معادلة اصلی معلوم می شود (ریشة معادلة f(x)=c بین ریشه های معادلة 0 f(x)= است ).

برای پیدا کردن مقدار بیشینة f(x) ، طوسی معادلة 0 (x)=  f را حل می کند که در آن (x)  f مشتق f(x) است (طوسی توضیح نمی دهد که از چه طریقی به معادلة مشتق رسیده است ). مثلاً در مورد معادلة

2 + c = ax 3 x

3 - x 2 f(x) = ax و 2 x 3 ax - 2 (x) =  f . ریشه های معادلة اخیر عبارت اند از صفر و 3 a 2 که به ترتیب مقدار کمینة صفر و مقدار بیشینة 0 )=c 3 a 2 f( را به دست می دهند. از سوی دیگر، معادلة 0 f(x)= دارای ریشة مضاعف 0 = 1  و ریشة سادة =a 2  است . طوسی نتیجه می گیرد که اگر 0 c < c ، آنگاه معادلة 2 +c=ax 3 x دو ریشة مثبت 1 x و 2 x دارد که در بین ریشه های معادلة 0 f(x)= و در دو سوی ریشة معادلة 0 (x)=  f قرار دارند. در مورد معادلات دیگر نیز نحوة استدلال طوسی به همین صورت است ( رجوع کنید بههمان ، ص 47ـ 48).

دستاورد مهم دیگر طوسی حل عددی معادلات درجة سوم است . وی روشی را که پیش از آن برای استخراج کعب (یعنی حل عددی معادلة =c 3 x ) به کار می رفت ، و امروزه به روش روفینی ـ هورنر معروف است ، به معادلات درجة سوم چند جمله ای تعمیم می دهد و از راه تقریبهای متوالی ریشة تقریبی این نوع معادلات را به دست می آورد (همان ، ص 50 ـ52).

جبر پس از شرف الدین طوسی . آثار مکتب کرجی ، خیام و شرف الدین طوسی اوج سنّت جبری در عالم اسلام است و پس



از ایشان ، این علم پیشرفت چندانی در جهان اسلام نداشت . با این حال ، از اشاراتی در بعضی از منابع معلوم می شود که برخی از ریاضیدانان کار شرف الدین طوسی را می شناخته اند ( رجوع کنید بههمان ، ص 53 ـ54). کوشش برای حل برخی از معادلات درجة سوم به کمک رادیکالها نمونه ای دیگر از زنده بودن سنّت جبری است ( رجوع کنید به سطور پیشین ) و نیز وجود آثاری چون مفتاح الحساب غیاث الدین جمشید کاشانی (اتمام تألیف در 830) نشانة آشنایی عمیق مؤلف با سنّت جبری کرجی است . قواعدی که کاشانی برای جمع و تفریق چند جمله ایها ( رجوع کنید بهص 190ـ191) و ضرب یک جمله ایها در یکدیگر و چند جمله ایها در یکدیگر (ص 191ـ194) و تقسیم چند جمله ایها بر یک جمله ایها (ص 194ـ 195) به دست می دهد، همان قواعدی است که در آثار کرجی و سموأل دیده می شود. در مورد حل معادلات ، کاشانی در مفتاح الحساب به شش معادلة درجات اول و دوم اکتفا کرده و ظاهراً کار خیام را نمی شناخته است ، چون می گوید که پیشینیان در بارة حل معادلات از درجات بالاتر از دو چیزی نگفته اند جز شارح بهائیه (ابن خوّام * ) که گفته است که شرف الدین مسعودی جز این شش دسته ، نوزده دسته معادلة دیگر را، از درجة سوم ، حل کرده است (غیاث الدین جمشید کاشانی ، ص 198ـ199). پیداست که مأخذ کاشانی میان شرف الدین طوسی و شرف الدین مسعودی ، فیلسوف و دانشمند قرن ششم ، خلط کرده است . کاشانی مدعی است که شمار معادلات ممکن (یعنی معادلاتی با ضرایب مثبت ) از درجة 4  n نود و پنج است و می گوید که او خود راه حل هفتاد معادلة درجة چهار و نیز نوزده معادله ای را که شرف الدین «مسعودی » حل کرده به دست آورده است ، و وعده می دهد که در این باره کتاب جداگانه ای بنویسد. متأسفانه این کتاب کاشانی ، اگر هم تألیف شده باشد، از میان رفته است ، و به این سبب معلوم نیست که راه حلهایی که او مدعی یافتن آن است هندسی بوده است یا به کمک رادیکالها.

گذشته از این آثار، آثار بسیار دیگری هم تألیف شده که هر چند از اهمیت نظری خاصی برخوردار نیستند بر رواج این علم در جهان اسلام دلالت می کنند. با همة اختلاف نظری که در بارة جایگاه جبر در میان علوم وجود داشت ( رجوع کنید به «جایگاه جبر در میان علوم »)، علم جبر از همان آغاز به صورت جزء لاینفک علوم ریاضی در آمد و گواه آن آثار بسیاری است که در این زمینه در شرق و غرب عالم اسلام تألیف شده و واژة «جبر» یا «جبر و مقابله » در عنوان بسیاری از آنها آمده است . در میان این آثار می توان از کتابها و رساله های زیر نام برد: المقدمة الکافیة فی اصول الجبر و المقابلة از ابوالحسن علی سهروردی (متوفی 533؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 320)؛
ارجوزة یاسمینیه در علم جبر از ابن یاسمین * مراکشی (متوفی ح 601؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 53)؛
نصاب الحبر فی حساب الجبر از ابن فلّوس ماردینی (590 ـ637 یا 650؛
رجوع کنید بهقربانی ، ص 40)؛
اختصارالجبر از ابن بدر * (متوفی پیش از 687؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 14) از مردم بلنسیه (والنسیا) در اندلس ؛
رسالة جبر و مقابله از خواجه نصیرالدین طوسی ؛
رسالة جبر از ابوالعلای بهشتی (متوفی 710؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 88) که برای استفادة فقیهان نوشته شده بوده است ( رجوع کنید بهبهشتی * ، ابوالعلا)؛
الجبر و الخطأین از سعدِ بیهقی * (زنده در 772؛
رجوع کنید بهقربانی ، ص 262)؛
المقنع فی علم الجبر و المقابلة از ابن هائم * مصری (753 یا 756ـ814؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 46)؛
و رسالة جبر از ابومنصور طوسی (ظاهراً سدة نهم ؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 111).

غالب این آثار ابتدایی اند و از «جبر» تنها به حل شش معادلة خوارزمی و گاهی نیز به بیان قواعد حساب بر روی تک جمله ایها اکتفا می کنند.

گذشته از این ، بسیاری از آثاری که در علم حساب نوشته شده اند، در کنار قواعد حساب بر روی اعداد صحیح و کسرها و استخراج جذر و نیز محاسبة مساحت اشکال ساده ، شامل فصلی در باب جبرند. از این جمله است : ارشادالحُسّاب فی المفتوح فی علم الحساب از ابن فلّوس ماردینی ؛
مرشدة الطالب الی اَسنی المطالب از ابن هائم مصری ( رجوع کنید به قربانی ، ص 45)؛
لُبّالحساب از علی بن یوسف بن علی منشی (قرن ششم ، چاپ عکسی ، تهران 1368 ش )؛
رسالة فی طریق المسائل العددیة ، به فارسی ، از شرف الدین سمرقندی (زنده در 632؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 276)؛
کتاب البدیع فی علم الحساب ، به فارسی ، از مسعودبن احمد خاصبکی (احتمالاً اواخر قرن هفتم ؛
رجوع کنید بهخاصبکی ، ص 404ـ 408)؛
رسالة فی الحساب از قاضی زاده رومی * (ح 766ـ ح 840؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 344)؛
رسالة محمدیه در حساب از ملاعلی قوشچی * (متوفی 879؛
رجوع کنید به قربانی ، ص 362)؛
الکفایة فی الحساب از غیاث الدین منصور دشتکی (متوفی 948؛
رجوع کنید بهقربانی ص 337)؛
بُغیة الطلاّ ب من علم الحساب از تقی الدین راصد * ، ابن معروف (932ـ993؛
رجوع کنید بهقربانی ، ص 200)؛
خلاصة الحساب * از شیخ بهائی (953ـ1031) که شروح متعددی به فارسی و عربی بر آن نوشته شده است و عیون الحساب از ملامحمدباقر یزدی * (زنده در 1047؛
رجوع کنید بهقربانی ، ص 437).

در برخی از این آثار قواعد حساب و جبر در هم آمیخته اند، اما در بسیاری از آنها نخست عملیات در مورد اعداد معلوم بیان شده و سپس راههای استخراج مجهولات از طریق جبر ذکر شده است . غالب این آثار از «حساب خطأین » نیز، به عنوان یکی از راههای استخراج مجهولات ، در کنار جبر و مقابله بحث کرده اند. تقریباً هیچ یک از این آثار از حد حل معادلات شش گانة خوارزمی فراتر نمی روند، هر چند در عیون الحساب برخی از معادلات درجة پنجم به صورت تقریبی حل شده است (قربانی ، ص 437). غالب این آثار هم الگوریتمهای حل معادلات را اثبات نمی کنند.

در غرب اسلامی نیز، که تکوین علم جبر در آن متأخر بر شرق و دنباله رو آن بود، کتاب پرنفوذ تلخیص اعمال الحساب اثر ابن بنّای مراکشی (654ـ721) به همین اسلوب تألیف شده و شامل دو جزء است . جزء اول ، «در عدد معلوم »، مشتمل بر اعمال اصلی حسابی در مورد اعداد صحیح و کسرها و نیز استخراج جذر، و جزء دوم عمدتاً در بارة جبر و مقابله است که شامل حل معادلات شش گانة خوارزمی و نیز قواعد ضرب و تقسیم تک جمله ایهای جبری است . ابن بنّا برای توان ، واژة «اُسّ» را اختیار می کند، بدین معنی که اسِّ عدد را صفر، اسّ x را یک ، اُسّ 2 x را 2، ... و اسّ n x را n می گیرد. بدین ترتیب ضرب و تقسیم تک جمله ایها به جمع و تفریق اسّ آنها تبدیل می شود:

p+q = x q . x p x

p-q = x q : x p x

(ابن بنّا، ص 76ـ77). با این نامگذاری ابن بنّا قواعدی به دست می دهد که معادله ای به صورت p = cx +p 1 + bx +p 2 ax را به صورت معادلة +bx=c 2 ax در می آورد. قواعدی که ابن بنّا به دست می دهد، هر چند کار محاسبات جبری را آسان تر می کند، از لحاظ نظری چیزی بر دستاوردهای کرجی و مکتب او نمی افزاید.

کاربرد نماد در جبر. تقریباً همة آثار مهم جبری دوران اسلامی به زبان متعارف نوشته شده اند و هیچ کوششی برای نمادگذاری در آنها دیده نمی شود. تنها استثنا برخی از آثاری است که در قرنهای هشتم تا دهم در غرب اسلامی تألیف شده است . غالب این آثار شروح تلخیص اعمال الحساب ابن بنّا هستند. ابن قنفذ ریاضیدان الجزایری (متوفی 810) در حطّالنقاب علی وجه عمل الحساب خود ( رجوع کنید بهقربانی ، ص 42)، که شرحی است بر تلخیص ابن بنّا، برای برخی از اصطلاحات جبری صورت مختصری اختیار کرده است . وی شی ء را به «ش » و «مال » را به «م » و «کعب » را به «ک » و «مال مال » را به «م م » نشان داده و برای تساوی نیز حرف «ل » را برگزیده است . یکی دیگر از علمای قرن هشتم به نام یعقوب بن ایوب بن عبدالواحد نیز از همین نشانه های ابن قنفذ استفاده کرده است ( رجوع کنید به تاریخ علم الجبر فی العالم العربی ، ج 1، مقدمة سعیدان ، ص 44). این گونه نمادگذاری در کشف الجَلباب عن علم الحساب قَلصادی (متوفی 891) و کشف الاسرار عن وضع حروف الغبار او، که خلاصه ای است از کشف الجلباب ، به کار رفته است (ووپکه ، ص 364). قلصادی این گونه نمادگذاری را در شرح تلخیص اعمال الحساب خود نیز به کار برده است . با این نمادگذاری ، فی المثل معادلة 2 x 64 + 3 x 16 = 4 x 8 به صورت

م

م ک م

8 ل 16 64

درمی آید (قلصادی ، ص 269ـ275). این گونه خلاصه نویسی در بغیة الطلاب فی شرح منیة الحُسّاب ابن غازیِ مَکناسی * (متوفی 919)، که شرحی است به نثر بر منظومة ریاضی مؤلف ، هم دیده می شود. ظاهراً این گونه استفاده از علامات تنها در غرب اسلامی رایج بوده و از همان اوایل قرن دهم نیز متروک شده است .

با این حال ، در قرنهای بعدی ، برخی از ریاضیدانان ایرانی به مباحث پیشرفته تر جبری نیز پرداخته اند. در تکمله ای که ملاعلی محمد اصفهانی * ، ریاضیدان قرن سیزدهم ، در 1240 بر عیون الحساب ملاباقر یزدی نوشته ، معادلات درجة سوم به روشی بدیع حل شده است که نشانة زنده بودن سنّت علم جبر اسلامی در ایران آن زمان است (راشد، 1992، ص 394). فرزند همین اصفهانی ، میرزا عبدالغفار نجم الدوله (1255ـ1316)، در 1276، در دوران دانشجویی در دارالفنون ، در رساله ای به نام حلّ مالاینحل مسائلی را که در آخر خلاصة الحساب شیخ بهایی آمده و به معادلات جبری درجة چهارم منجر می شوند حل کرده است (پاکدامن ، ص 329ـ330). این کتاب را می توان نقطة پایان جبر اسلامی و سرآغاز جبر جدید در ایران دانست .

تأثیر جبر دوران اسلامی در اروپا. آشنایی اروپاییان با علم جبر با ترجمة لاتینی جبر و مقابلة خوارزمی آغاز شد. از این کتاب دو ترجمة لاتینی در دست است : یکی ترجمة روبرت چستری (یا روبرت ریدینگی ) که در 1144 میلادی انجام شده است (کارپینسکی ، ص 127) این ترجمه نامهای گوناگون دارد که در همة آنها واژه های جبر و مقابله آمده است (از جمله

Liber algebrae et almucabola )، و دیگری ترجمه ژرار (گرارد) کرمونایی (ح 1114ـ1187) که تاریخش معلوم نیست اما به احتمال زیاد پس از ترجمة روبرت چستری انجام شده است . این ترجمه هم De iebra et almucabala نام دارد. از هر دو ترجمه نسخه های متعدد (و گاه متفاوتی ) باقی مانده است که گواه بر تأثیر آنها در تحول جبر در اروپای قرون وسطاست . از طریق این ترجمه هاست که اروپاییان با علم جبر آشنا شدند. تأثیر جبر اسلامی در آثار لئوناردو فیبوناتچی (ح 1170ـ پس از





1240) که معمولاً نخستین ریاضیدان بزرگ اروپایی شمرده می شود، به ویژه در > کتاب حساب < او، به خصوص پس از تحقیق در آثار ابوکامل معلوم شده است . این اثر، «از لحاظ محتوای ریاضی ، از حد آثار اسلاف عربی نویس فیبوناتچی فراتر نمی رود» ( زندگینامة علمی دانشوران ، ج 4، ص 608).

گذشته از این پیوندهای تاریخی ، پیوندهای مفهومی میان جبر دوران اسلامی و جبر جدید اروپایی تا قرن هفدهم ادامه می یابد. شیوة فرما در محاسبة مقادیر بیشینه و کمینة توابع به شیوة شرف الدین طوسی بسیار نزدیک است (طوسی ، ج 1، مقدمة راشد، ص XXX-XXVII ) و برنامه ای را که دکارت از 1619 آغاز کرد، و حاصل آن کتاب > هندسة < اوست که در 1637 منتشر شد، می توان ادامه و مکمل کار خیام در جبر و مقابله دانست (راشد و وهاب زاده ، ص 12ـ29).

---

منابع :
(1) ابن ابی اصیبعه ، کتاب عیون الانباء فی طبقات الاطباء ، چاپ امرؤالقیس بن طحان ( آوگوست مولر ) ، کونیگسبرگ و قاهره 1299/1882، چاپ افست انگلستان 1972؛
(2) ابن اکفانی ، ارشاد القاصد الی أسنی المقاصد ، چاپ محمود فاخوری ، محمد کمال ، و حسین صدیق ، بیروت 1998؛
(3) ابن بنّا، تلخیص اعمال الحساب ، حققه و ترجمه الی الفرنسیة محمد سویسی ، تونس 1969؛
(4) ابن خلّکان ؛
(5) ابن سینا، فی اقسام العلوم العقلیة ، در الفلسفة الاسلامیة ، فرانکفورت 1999؛
(6) همو، منطق المشرقیین ، قاهره ( 1328/1910 ) ، چاپ افست تهران ( بی تا. ) ؛
(7) ابن غازی ، بغیة الطلاب فی شرح مُنیة الحُسّاب ، چاپ محمد سویسی ، حلب 1403/1983؛
(8) ابن ندیم ؛
(9) ابوریحان بیرونی ، کتاب التفهیم لاوائل صناعة التنجیم (متن عربی )، با ترجمة انگلیسی از رمزی رایت ، لندن 1934، همان (متن فارسی )، چاپ جلال الدین همائی ، تهران 1362 ش ؛
(10) همو، کتاب القانون المسعودی ، حیدرآباد دکن 1373ـ 1375/ 1954ـ 1956؛
(11) شجاع بن اسلم ابوکامل ، کتاب الجبر و المقابلة ، چاپ عکسی از نسخة خطی کتابخانة بایزید استانبول ، مجموعة قره مصطفی پاشا، ش 379، فرانکفورت 1406 الف ؛
(12) همو، کتاب طرائف الحساب لابی کامل ، در تاریخ علم الجبر فی العالم العربی : دراسة مقارنة مع تحقیق لاهمّ کتب الجبرالعربیة ، چاپ احمد سلیم سعیدان ، ج 1، کویت : المجلس الوطنی للثقافة و الفنون و الاداب ، 1406 ب ؛
(13) احمدبن یحیی بلاذری ، انساب الاشراف ، ج 3، چاپ عبدالعزیز دوری ، بیروت 1398/1978؛
(14) همو، فتوح البلدان ، چاپ عبداللّه انیس طباع و عمر انیس طباع ، بیروت 1407/1987؛
بنوموسی ، کتاب معرفة مساحة الاشکال البسیطة و الکریة لبنی موسی محمد و الحسن و احمد ، در

(15) Les mathإmatiques infinitإsimales du IX e au XI e siةcle , [ed] Roshdi Rashed, vol.1, London: Al -Furqa ¦n Islamic Heritage Foundation, 1416/1996;


(16) ناصر پاکدامن ، «میرزا عبدالغفار نجم الدوله و تشخیص نفوس دارالخلافه »، فرهنگ ایران زمین ، ج 20 (1353 ش )؛
(17) تاریخ علم الجبر فی العالم العربی : دراسة مقارنة مع تحقیق لاهمّ کتب الجبر العربیة ، چاپ احمد سلیم سعیدان ، کویت : المجلس الوطنی للثقافة و الفنون و الاداب ، 1406/1986؛
(18) حاجی خلیفه ؛
(19) مسعودبن احمد خاصبکی ، کتاب البدیع فی علم الحساب ، در سفینة تبریز ، گردآوری و به خط ابوالمجد محمدبن مسعود تبریزی ، چاپ عکسی از نسخة خطی کتابخانة مجلس شورای اسلامی ، تهران : مرکز نشر دانشگاهی ، 1381 ش ؛
(20) محمدبن احمد خوارزمی ، کتاب مفاتیح العلوم ، چاپ فان فلوتن ، لیدن 1895، چاپ افست 1968؛
(21) محمدبن موسی خوارزمی ، کتاب الجبر و المقابلة ، چاپ علی مصطفی مشرفه و محمد مرسی احمد، ( قاهره ) 1968؛
(22) عمربن ابراهیم خیام ، رسالة لابی الفتح عمربن ابراهیم الخیامی ( رسالة تحلیل ) ، ترجمة فارسی : رساله در تحلیل یک مسئله ، در حکیم عمر خیام بعنوان عالم جبر ، چاپ غلامحسین مصاحب ، تهران : انجمن آثار ملی ، 1339 ش الف ؛
(23) همو، مقالة فی الجبر و المقابلة ، ترجمة فارسی : رساله ی جبر خیام ، در همان ، 1339 ش ب ؛
(24) دائرة المعارف بزرگ اسلامی ، زیرنظر کاظم موسوی بجنوردی ، تهران 1367 ش ـ ، ذیل «بنی موسی » (از حسین معصومی همدانی )؛
(25) دیوفانتوس اسکندرانی ، صناعة الجبر لِدیوفنطس الاسکندرانی ، ترجمة قسطابن لوقا، چاپ رشدی راشد، ( قاهره ) 1975؛
(26) سموأل بن یحیی مغربی ، الباهر فی الجبر ، چاپ رشدی راشد و صلاح احمد، دمشق 1972؛
(27) احمدبن مصطفی طاشکوپری زاده ، مفتاح السعادة و مصباح السیادة ، بیروت 1405/1985؛
(28) مظفربن محمد طوسی ، المؤلفات الریاضیّة لشرف الدین الطوسی : الجبر و الهندسة فی القرن الثانی عشر ، تحقیق و ترجمة رشدی راشد، پاریس 1986؛
(29) غیاث الدین جمشید کاشانی ، مفتاح الحساب ، چاپ سعید دمرداش و محمد حمدی حفنی شیخ ، قاهره ?( 1967 ) ؛
(30) محمدبن محمد فارابی ، احصاءالعلوم ، چاپ عثمان امین ، قاهره 1949؛
(31) محمدبن عمر فخررازی ، جامع العلوم ( ستّینی )، چاپ علی آل داود، تهران 1382 ش ؛
(32) ابوالقاسم قربانی ، زندگینامة ریاضیدانان دورة اسلامی : از سدة سوم تا سدة یازدهم هجری ، تهران 1365 ش ؛
(33) علی بن محمد قَلَصادی ، شرح تلخیص اعمال الحساب ، چاپ فارس بنطالب ، بیروت 1999؛
(34) محمدبن حسین کرجی ، کتاب البدیع فی الحساب ، چاپ عادل انبوبا، بیروت 1964؛
(35) همو، کتاب الفخری للکرجی ، در تاریخ علم الجبر فی العالم العربی ، ج 1، همان ، 1406/1986؛
(36) محمدبن محمد نصیرالدین طوسی ، تلخیص المُحَصَّل ، بانضمام رسائل و فوائد کلامی ، چاپ عبداللّه نورانی ، تهران 1359 ش ؛
(37) همو، رسالة جبر و مقابله ، چاپ اکبر داناسرشت ، تهران 1335 ش ؛


(38) Adel Anbouba, "L , algةbre arabe aux IX e et X e siةcles: aper u gإnإral", Journal for the history of Arabic science , vol.2, no.1 (May 1978);
(39) Hإlةne Bellosta, "L , إmergence du nإgatif", in De Zإnon d , ـlإe ب Poincarإ: recueil d , إtudes en hommage ب Roshdi Rashed , ed. Rإgis Morelon and Ahmad Hasnawi, Louvain: ـditions Peeters, 2004;
(40) Marouane Ben Miled, "Les commentaires d , A l -Ma ¦ha ¦n ¦et d , un anonyme du Livre X des ـlإments d , Euclide", Arabic sciences and philosophy , vol.9, no.1 (Mar. 1999);
(41) idem, "Les quantitإs irrationnelles dans L , uvre d , A l -Karaj ¦ ", in De Zإnon d , ـlإe ب Poincarإ , ibid, 2004;
(42) Dictionary of scientific biography , ed. Charles Coulston Gillispie, New York: Charles Scribner , s Sons, 1981, s.vv. "Diophantus of Alexandria", "Fibonacci, Leonardo" (by Kurt Vogel);
(43) Diophantus of Alexandria, Les arithmإtiques , texte إtabli et traduit par Roshdi Rashed, vol.3 and 4, Paris 1984;
(44) EI 2 , s.v. " A l -Djabr wa , l-muk ¤a ¦bala" (by Willy Hartner);
(45) Euclid, The thirteen books of Euclid , s Elements , translated from the text of Heiberg with introduction and commentary by Thomas L. Heath, 2nd ed. revised with additions, New York 1956;
(46) Solomon Gandz, "The origin and development of the quadratic equations in Babylonian, Greek and early Arabic algebra", Osiris , 3(1937);
(47) Thomas L. Heath, A history of Greek mathematics , New York 1981;
(48) Louis Charles Karpinski, "Robert of Chester , s translation of the Algebra of A l -Khowarizmi", Bibliotheca mathematica , 11(1910-1911);
(49) Martin Levey, The Algebra of Abu ¦ Ka ¦mil: Kita ¦b f  ¦ al-jabr wa , l-muqa ¦bala in a commentary by Mordecai Finzi , Madison 1966;
(50) Paul Luckey, " T ¤a ¦bit b.Qurra دber den geometrischen Richtigkeitsnachweis der Auflosung der quardratischen Gleichungen", Berichte دber die Verhandlungen der Sachsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig , 93 (1941);
(51) Otto Neugebauer, The exact sciences in antiquity , Providence 1957;
(52) Pappus of Alexandria, The commentary of Pappus on the book X of Euclid , s Elements , Arabic text and translation by William Thomson, Cambridge, Mass. 1930;
(53) Claudius Ptolemy, Ptolemy , s Almagest , translated and annotated by G.J. Toomer, London 1984;
(54) Roshdi Rashed, "L , algةbre", in Histoire des science arabes , ed. Roshdi Rashed, vol.2, Paris 1997;
(55) idem, Entre arithmإtique et algةbre: recherches sur l , histoire des mathإmatiques arabes , Paris 1984;
(56) idem, "L , induction mathإmatique: al-Karaj ¦, as- Samaw , al", Archive for history of exact sciences , vol.9, no.1 (1972);
idem, "Mathإmatiques traditionnelles dans les pays islamiques au XIX e siةcle: l , exemple de l , Iran", in Transfer of modern science & technology to the Muslim world: Proceedings of the International Symposium on Modern Sciences and the Muslim World , ed. Ekmeleddin I hsanog §lu, Istanbul: The Research Centre for Islamic History, Art

(57) and Culture,1992;
58- Roshdi Rashed and Bijan Wahhabzadeh, Al -Khayya ¦m mathإmaticien , Paris 2000;
(59) George A.Saliba, "The meaning of al-jabr wa , l- muqa ¦balah", in Edward S. Kennedy, Studies in the Islamic exact sciences , Beirut 1983;
(60) Ayd n Say l , Logical necessities in mixed equations by ـ Abd al Ham  ¦d ibn Turk and the algebra of his time , Ankara 1985;
(61) Fuat Sezgin, Geschichte des arabischen Schrifttums , Leiden 1967- ;
(62) Heinrich Suter, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke , Amsterdam 1981;
(63) Bartel Leendert van der Waerden, Geometry and algebra in ancient civilizations , Berlin 1983;
(64) Franz Woepcke, Extrait du Fakhr  ¦, traitإ d , algةbre par Abou ¦ Bekr Mohammad Ben Alha an Alkarkh  ¦, prإcإdإ d , un mإmoire sur l , algةbre indإterminإe chez les Arabes , Paris 1853.

/ حسین معصومی همدانی /

نکاتی در بارة منشأ و تطور مفهوم جبر و مقابله

در بارة اینکه واژة جبر در علم جبر و مقابله به کدام زبان تعلق دارد، چند نظر مطرح شده است . اگر بپذیریم که این

واژه عربی است ، در آن صورت برای بررسی وجه نامگذاری

این علم به «جبر» لازم است به معنای جبر در زبان عربی

توجه کنیم . برای واژة جبر چند معنا برشمرده اند، از جمله : بازسازی و ترمیم استخوانهای شکسته یا جوش خوردن آن ، نیکو گردانیدن حال ، کسی را به زور به کاری واداشتن ، به کسی ستم کردن ، تسلط و قهر (برای آگاهی از پاره ای معانی موردی واژه جبر در زبان عربی رجوع کنید به جوهری ؛
ابن منظور؛
مرتضی زبیدی ، ذیل «جَبَرَ»؛
برای بررسی مقایسه ایِ معانی این واژه رجوع کنید به دهخدا،

ذیل «جبر»).

واژة جبّار، به عنوان یکی از نامهای خداوند، در قرآن کریم و دعاها و غیر آن به کار رفته است ( رجوع کنید به الجبّار * ).

در مورد ریشة واژه و معنای آن در موضوع علم جبر و مقابله می دانیم که نخستین بار، محمدبن موسی خوارزمی (ریاضیدان ایرانی ، متوفی ح 232) در عنوان اثر مهم خود، کتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابلة (در بارة این کتاب رجوع کنید به قربانی ، ص 241ـ242؛
نیز رجوع کنید به بخش اول مقاله ) و نیز در متن کتاب (از جمله رجوع کنید به ص 40) از این واژه برای بیان مفهومی در ریاضیات و در واقع به عنوان بخشی از علم حساب استفاده کرده است . بررسی آثار ریاضیدانان معاصر خوارزمی یا متعلق به زمانی نزدیک به زندگی او، روشن می سازد که کاربرد این واژه برای بیان مفهومی ریاضی ، از قرن سوم به بعد بسیار شایع بوده است ، به طوری



که از چند کتاب جبر و مقابله در این دوران آگاهی داریم ،

از جمله کتابی از سِنْدبن علی (زندگی در قرن سوم ؛
رجوع کنید بهقربانی ، ص 274) و ابوحنیفه دینوری ( رجوع کنید به ابن ندیم ، ص 86). به نوشتة ابن ابی اصیبعه (ج 1، ص 220)، ثابت بن قرّه نیز کتابی در بارة علم جبر و ارتباط آن با هندسه داشته است . صورتهای مختلف صرف شدة این واژه را نیز بسیاری از ریاضیدانان متقدم دورة اسلامی ، از جمله ابوکامل شجاع بن اسلم (ص 49ـ 50)؛
کَرَجی ( رجوع کنید به قربانی ، ص 393) و خیام (ص 7، 9) به کار برده اند.

اما مسلّم نبودن مناسبت معنای لغوی واژه در زبان عربی

با کاربرد آن در ریاضیات و متون ریاضی ، باعث شده است

که آرای متفاوتی در بارة منشأ و معنای آن مطرح شود.

غالباً آن را با معنای اصلاح و رفع نقص پیوند می دهند، اما

به نظر صَلیبا (ص 544) این واژه در متون ریاضی از ریشة

جَبَر به معنای ناگزیر کردن کسی (نه اصلاح و رفع نقص )، گرفته شده است .

گاندز (1926، ص 437ـ439؛
همو، 1936، ص 274ـ 275) این واژه را مأخوذ از ریشة آشوری جَبْر، به معنای تساوی و مساوی ، می داند. با قبول این فرض ، تنها مؤید آن ، نزدیکی زبان عربی و آشوری به همدیگر، و احتمال انتقال این واژه از آشوری به عربی به سبب قرار گرفتن این دو زبان در خانوادة زبانهای آرامی است (نیز رجوع کنید به گاندز، 1926، ص 438ـ440).

به نظر سزگین (ص 73)، واژة جبر در کنار چند واژة دیگر ریاضی ، از جمله جَیْب ، از زبان هندی وارد عربی شده است . یکی از مفصّل ترین نوشته ها در بارة ارتباط بین زبان سنسکریت و دنیای اسلام ، از آنِ ابوریحان بیرونی است که در موارد بسیاری (از جمله ص 138ـ139، 350ـ351)، هر جا عبارت یا اصطلاحی را توضیح می دهد، در صورت وجود برابر سنسکریت ، آن برابر را نیز نقل می کند. چون در توضیح مفهوم جبر و

مقابله در اثر بیرونی (ص 48ـ51) هیچ نشانی از ذکر معادل سنسکریت وجود ندارد، مشکل بتوان واژة جبر را مأخوذ از سنسکریت دانست . در عین حال ، بررسی هر یک از آرای مذکور، نیازمند مطالعة عمیق و همه جانبة متون ریاضیات دورة اسلامی و نیز بررسی ریشه شناختی این واژه در زبانهای آشوری و سنسکریت است .

آنچه عربی بودن واژة جبر را پذیرفتنی تر می نماید، کاربرد آن به وسیلة خوارزمی و دانشمندانِ پس از او در معنای توسعیِ رفع نقصان و شکستگی در پاره ای از معادلات ریاضی است . به نظر می رسد خوارزمی وجود جمله یا جملات منفی در معادله را نوعی نقصان تصور می کرده (العبارة الناقصة رجوع کنید به خوارزمی ، ص 28) و

برای رفع این مشکل ، به افزودن جمله های مساوی به هر دو سوی معادله برای حذف جمله های منفی اقدام نموده است .

خوارزمی ، واژة مقابله را نیز در معنای حذف مقادیر مساویِ هم مرتبه از هر دو سوی جمله ، به کار برده است (برای نمونة استفاده از صورت صرف شدة مقابله در همین معنا رجوع کنید به ص 40). دو معنای مذکور برای این دو واژه را دیگر ریاضیدانان دورة اسلامی (از جمله ابوکامل ، ص 49ـ50) و نویسندگان و دانشمندان دیگر (از جمله فخر رازی ، ص 393؛
ابن اکفانی ، ص 84) نیز به کار برده اند. توصیفی که ابن خلدون (ج 1: مقدمه ، ص 636ـ637) ضمن توضیح در بارة جبر و مقابله ، راجع

به تشکیل معادله و ساده سازی آن داده است ، کمابیش ناظر

به همین معنی است . اگرچه دانشمندان متعددی پس از خوارزمی (از جمله قَلَصادی ، ص 247) کوشیده اند تعاریفی از اصطلاح جبر به دست دهند که از لحاظ صورت با کوشش خوارزمی برای حل مسائل جبری متفاوت است ، اما در عمل ، روش آنان ، همان روش مورد نظر خوارزمی است . حتی کرجی

هم که تعریفی کمابیش متفاوت با گذشتگان از جبر به

دست داده و آن را مجموعة عملیاتی دانسته که مجهول

را به مرحلة معلوم شدن نزدیک کند (ص 145)، از واژة

جبر و مشتقات آن همانند خوارزمی استفاده کرده است

( رجوع کنید به ص 170؛
نیز رجوع کنید به صلیبا، ص 549). البته کرجی (ص 146) مقابله را به مرحله ای از حل معادله اطلاق می کند که پس از انجام عملیات جبری ، معادله به یکی از شش صورتِنمایی

( = bx 2 + bx = c ;
ax 2 + c = bx ;
ax 2 ;
ax 2 bx + c = ax

= c 2 bx = c ;
ax ) تبدیل شود (برای چگونگی صورت انجام عملیات جبری در این شش صورت رجوع کنید به همان ، ص 146ـ163).

گفتنی است که در پاره ای از آثار ریاضیدانان دورة اسلامی ، واژة جبر به تنهایی در معنای توسعی جبر و مقابله نیز به کار رفته است (از جمله رجوع کنید به سموأل بن یحیی مغربی ، ص 73؛
قلصادی ، ص 251).

اروپاییان ، نخستین بار در قرن ششم / دوازدهم بر اساس ترجمه های روبرت چستری و ژرار (گرارد) کرمونایی از

جبر و مقابلة خوارزمی ، با این اثر آشنا شدند ( رجوع کنید به بخش

اول مقاله ). در قرن هشتم / چهاردهم کاناچی نخستین بار

واژة algebra را مأخوذ از واژة جبر عربی به کار برد، که امروزه هم در زبانهای اروپایی کاربرد دارد. به تدریج طی دو قرن بعد واژة مذکور در زبانهای اروپایی متداول و واژة دوم (یعنی مقابله ) حذف شد ( د.اسلام ، چاپ دوم ، ذیل «خوارزمی »؛
گاندز، 1936، ص 263).

---

منابع :
(65) ابن ابی اصیبعه ، کتاب عیون الانباء فی طبقات الاطباء ، چاپ امرؤ القیس بن طحان ( آوگوست مولر ) ، کونیگسبرگ و قاهره 1299/1882، چاپ افست انگلستان 1972؛
(66) ابن اکفانی ، ارشاد القاصد الی أسنی المقاصد ، چاپ محمود فاخوری ، محمد کمال ، و حسین صدیق ، بیروت 1998؛
(67) ابن خلدون ؛
(68) ابن منظور؛
(69) ابن ندیم ؛
(70) ابوریحان بیرونی ، کتاب التفهیم لاوائل صناعة التنجیم ، چاپ جلال الدین همائی ، تهران 1362 ش ؛
(71) شجاع بن اسلم ابوکامل ، کتاب الجبر و المقابلة ، چاپ عکسی از نسخة خطی کتابخانة بایزید استانبول ، مجموعة قره مصطفی پاشا، ش 379، فرانکفورت 1406/1986؛
(72) اسماعیل بن حماد جوهری ، الصحاح : تاج اللغة و صحاح العربیة ، چاپ احمد عبدالغفور عطار، بیروت ( بی تا. ) ، چاپ افست تهران 1368 ش ؛
(73) محمدبن موسی خوارزمی ، کتاب الجبر و المقابلة ، چاپ علی مصطفی مشرفه و محمد مرسی احمد، ( قاهره ) 1968؛
(74) عمربن ابراهیم خیام ، مقالة فی الجبر و المقابلة ، در حکیم عمر خیام بعنوان عالم جبر ، چاپ غلامحسین مصاحب ، تهران : انجمن آثار ملی ، 1339 ش ؛
(75) دهخدا؛
(76) فؤاد سزگین ، محاضرات فی تاریخ العلوم العربیة و الاسلامیة ، فرانکفورت 1404/1984؛
(77) سموأل بن یحیی مغربی ، الباهر فی الجبر ، چاپ رشدی راشد و صلاح احمد، دمشق 1972؛
(78) محمدبن عمر فخررازی ، جامع العلوم ( ستّینی )، چاپ علی آل داود، تهران 1382 ش ؛
(79) ابوالقاسم قربانی ، زندگینامة ریاضیدانان دورة اسلامی : از سدة سوم تا سدة یازدهم هجری ، تهران 1365 ش ؛
(80) علی بن محمد قَلَصادی ، شرح تلخیص اعمال الحساب ، چاپ فارس بنطالب ، بیروت 1999؛
(81) محمدبن حسین کرجی ، کتاب الفخری للکرجی ، در تاریخ علم الجبر فی العالم العربی : دراسة مقارنة مع تحقیق لاهمّ کتب الجبر العربیة ، چاپ احمد سلیم سعیدان ، ج 1، کویت : المجلس الوطنی للثقافة و الفنون و الاداب ، 1406/ 1986؛
(82) محمدبن محمد مرتضی زبیدی ، تاج العروس من جواهر القاموس ، چاپ علی شیری ، بیروت 1414/1994؛


(83) EI 2 , s.v. " Al -Kh w a ¦razm ¦" (by J. Vernet);
Solomon

(84) Gands, "The origin of the term algebra", American mathematical monthly , vol.33 (1926);
(85) idem, " The sources of Khowa ¦rizmi , s Algebra ", Osiris , I(1936);
(86) George A. Saliba, "The meaning of al-jabr wa , l-muqa ¦balah", in Edward S. Kennedy, Studies in the Islamic exact sciences , Beirut 1983.

/ فاطمه سوادی /

تصاویر این مدخل:
شکل 1
شکل 2
شکل 3
شکل 4
شکل 5
شکل 6