نگاهى به رساله هندسه آقا حسين خوانسارى ره
قمشه اى على زمانى


آقا حسين خوانسارى (1099/1098 ـ 1019/1016ق.) از برجسته ترين دانشمندان فنون حكمت, رياضى, فقه, اصول و هندسه, و از شاخص ترين چهره هاى ذوالفنون به شمار رفته است. رساله هندسه او از ژرف ترين رساله هاى هندسى است كه اين انديشمند بزرگ در آن به بررسى و پژوهش يك شكل از اشكال هندسى پرداخته و نظر تيز او انديشه بلند بسيارى از انديشمندان را هدف قرار داده و با تيغ تيز نقد به تشريح استادانه و موشكافى ماهرانه نشسته است. با نگاهى به اين رساله صدق گفتار ما به ويژه براى پارسى زبانان به منصّه ظهور خواهد رسيد.
آقا حسين ـ قدس سره ـ در رساله پيش گفته سخن را از اينجا آغاز مى كند: در اصول هندسه و حساب ثابت است كه هرگاه خطى خارج از دايره بر نقطه اى از محيط دايره مماس شود و قطرى از دايره نيز بر همان نقطه عمود باشد چنين داريم:
1. يك زاويه قائمه كلّى; يعنى زاويه (ا,ب,ج) در شكل زير.
2. زاويه حادّه, بين خط مماس و محيط بيرون دايره (زاويه 2). اين زاويه از هر زاويه حادّه اى كه با دو خط مستقيم تشكيل يابد, حادّه تر است.
3. زاويه حادّه, بين محيط و درون محيط دايره (زاويه 3 در شكل). اين زاويه از هر زاويه حادّه اى, بزرگ تر است.

سپس اگر چنين فرض كنيم كه قطر مزبور (ب,ج) برخلاف جهت زاويه حركت كند (خط, بَ, جَ) و نقطه تماس او با محيط همچنان ثابت باشد, طفره لازم مى آيد, و عقل بر بطلان و محال بودن طفره حكم بديهى دارد; زيرا هر قدر قطر حركت كند, بين موضع اوّل و بين موضع دوم او (بَ, جَ) زاويه اى مستقيم الخطين پديد مى آيد كه چون به زاويه اى كه از قطر و درون محيط (زاويه 3) اضافه شود, از قائمه بيشتر مى شود; بدون اينكه به اندازه زاويه قائمه گرديده باشد.
شبهه طفره در هندسه اقليدس
اقليدس در پانزدهم از مقاله هشتم اصول هندسه گفته است: زاويه حادّه اى كه از دايره و خط مماس بر دايره پديد مى آيد (زاويه2) از هر زاويه حادّه اى كه از دو خط مستقيم پديد آيد, حادّه تر است. بنابراين زاويه اى كه از قطر و مقعّر دايره (زاويه3) پديد مى آيد, از همه زاويه هاى حادّه اى كه از دو خط مستقيم تشكيل مى يابند, بزرگ تر است; زيرا اين زاويه, متمّم زاويه اوّل (زاويه2) تا رسيدن به قائمه است. چون كه خط خارج از نقطه تماس به مركز دايره (يعنى خط قطر) بر خط مماس عمود است.
بنابراين وقتى قطر از ناحيه مركز حركت كند و نقطه تماس ثابت باشد, لازم مى آيد زاويه اى كه از قطر و دايره پديد مى آيد, بزرگ تر از قائمه باشد; بدون اينكه قبلاً به اندازه زاويه قائمه گرديده باشد. زيرا قطر, هر اندازه حركت كند, زاويه اى مستقيم الخطين به زاويه اوّل (زاويه3) اضافه مى شود. و بديهى است كه زاويه حادّه مستقيم الخط بزرگ تر است از زاويه اى كه از خط مماس و محدّب محيط دايره (زاويه2) پديد آمده است. پس دو زاويه پديد آمده است; يعنى:
الف) حادّه مستقيم الخط كه به وسيله حركت قطر از نقطه ب, به نقطه بَ به دست آمده است.
ب) زاويه پديد آمده از قطر و مقعّر محيط (زاويه3) و اين دو بيش از زاويه قائمه است. از اين رو لازم مى آيد كه مقدار زاويه صغير, به وسيله حركت قطر, بزرگ تر از مقدار زاويه بزرگ گردد; بدون اينكه به اندازه او شود, و اين همان طفره است.
گفتنى است: طفره عبارت است از رسيدن نقطه آغازين به نقطه پايان, بى آنكه نقاط وسط طى شود; مانند پاگذاشتن از پله اول نردبان به پله آخر, بدون آنكه پله هاى وسط را درنوردد. در مقام ما اگر زاويه حادّه به تدريج افزايش يابد, تا به زاويه منفرجه برسد و در اثناى حركت, زاويه قائمه حاصل نگردد, طفره لازم آمده است, و عقل بر محال بودن طفره حكم بديهى دارد. پاسخ اوّل
محقّق دوانى از شبهه طفره پاسخ داده است كه زاويه به طور كلى از كيفيّات بسيطه است; يعنى هيأتى است كه عارض سطح گشته و پديد آمده از احاطه دو خط است به او. بنابراين هيأت زاويه قائمه هيچگاه بين خط منحنى و مستقيم امكان پذير نيست; يعنى وقتى فرض شود كه زاويه حادّه اى كه از قطر و محيط (زاويه3) پديد آمده هنگام حركت قطر, به منفرجه تبديل گردد ـ پيش از آن كه قائمه شود ـ و بين خط مستقيم و منحنى هيأت زاويه قائمه, متصور نيست; مانند اينكه جسمى از سفيدى به جانب سياهى حركت كند و در اثناى راه به رنگ پسته اى كه در طريق او نبوده است, نرسد. پاسخ دوم
شكى نيست كه سطح زاويه اى كه بين محيط و قطر است (زاويه3) كوچك تر است از سطح زاويه اى كه بين قطر و عمود مماس بر آن (زاويه1) واقع گرديده است. پس هرگاه قطر, به خلاف جهت زاويه حركت كند, عمودش نيز به جانب حركت او حركت مى كند; چون فرض اين است كه خط مماس, عمود بر قطر است. پس عمود ناچار است با كوچك ترين حركت قطر, در داخل دايره قرار گيرد (خط اَ, بَ) زيرا محال است كه خط مستقيم ديگرى به عنوان عمود در اين فرض وجود داشته باشد. در اين هنگام, سطح زاويه قائمه اى كه ميان اين عمود واقع در داخل دايره و بين قطر متحرك (يعنى زاويه اَ, بَ, و) است كوچك تر از سطح زاويه اى است كه ميان محيط دايره و اين قطر (يعنى زاويه ب, و, بَ) است. پس اگر سطح زاويه اى كه ميان خط مماس و قطر (زاويه1) است, بزرگ تر از سطح زاويه اى است كه ميان قطر و محيط (زاويه3) قرار دارد, بدين خاطر است كه يكى از دو ضلع زاويه اوّل, خارج از دايره واقع شده است, و اگر زاويه اى كه ميان محيط و قطر بعد از حركت (زاويه ب, و, بَ) بزرگ تر است از زاويه اى كه ميان قطر و عمود متحرك (يعنى زاويه اَ, بَ, و) قرار گرفته بدين سبب است كه يكى از دو ضلع زاويه دوم (خط عمود) داخل دايره قرار گرفته است.
بنابراين بازگشت سخن به اين است كه وقتى قطر حركت كند و هر اندازه حركت كند, خط عمود مماس, داخل دايره قرار مى گيرد; زيرا انطباق خط عمود بر خط منحنى و محيط دايره محال است, پس بايد درون دايره قرار گيرد و با انتقال عمود به درون دايره ديگر جايى براى شبهه طفره باقى نخواهد بود. توضيح دو پاسخ به بيان آقا حسين(ره)
اگر نسبت قطر را به محيط به سنجش آوريم, قبل از حركت قطر, نسبت زاويه حادّه است و بعد از حركت, به حالت ديگرى به نام منفرجه منتقل مى شود و طفره اى در كيف, كم, مكان و (اين) لازم نمى آيد. چه اينكه در اثناى حركت به حركت ميانه اى كه بين دو خط مستقيم به نام زاويه قائمه وجود دارد, نرسيده است و هيچ اشكالى هم دربر نخواهد داشت; به ويژه كه خط مماس خارج, با كوچك ترين حركت قطر, به داخل دايره منتقل مى گردد.
پس تنها چيزى كه سبب اين شبهه شده است, تنها يك اشتباه لفظى است كه از (انتقال از حادّه به منفرجه بدون رسيد به قائمه) پديد آمده است. از اين رو گفته شده: زاويه از كيفيات مختص به كميّات است; يعنى زاويه كميّت بالذات نيست, و كمّ بالذات همان سطح است, و سطح, معروض زاويه است. در اين صورت نمى توان گفت: (سطح صغير, بزرگ تر از كبير نمى شود; جز اين كه نخست به اندازه كبير گردد). بنابراين زاويه قائمه عبارت از كيفيت مخصوصى است كه با حركت قطر, وجود خارجى به خود نخواهد گرفت, آنسان كه رنگ زرد, در حركت يك شىء از رنگ پسته اى به جانب سياهى مثلاً, يافت نخواهد شد, و چنان كه يك شىء در حركت خود از ترشى به شيرينى, به تلخى نخواهد رسيد.
حاصل سخن اينكه, در صورتى طفره لازم مى آيد كه مقدار كوچك تر زيادتر از مقدار بزرگ تر گردد; بدون آنكه مساوى او گشته باشد; ولى سخن در زاويه, بر اين پايه نيست. زيرا زاويه ذاتاً مقدار نيست (سالبه به انتفاى موضوع) بلكه از نوع كيفياتى است كه عارض سطح مى شود و لازم نيست همه كيفيات, در همه حركات كيفى, تحقق يابند. بنابراين, واژه هاى (مساوات) و (تفاوت) از ويژگى هاى معروض ها است, نه عارض ها.
به سخن ديگر طفره عبارت است از ترك تدريجى از جايى و رسيدن تدريجى به جاى ديگر, يا از شىء به شىء ديگر, بدون اينكه به حدّ متوسط آن دو جا يا دو شىء رسيده باشد. اما حركت قطر پس از تشكيل (زاويه3 در شكل) و ترسيم و تشكيل حادّه ترين زاويه حادّه مستقيم الخطين (زاويه, ب, و, بَ), از قبيل حركت تدريجى نيست, بلكه از قبيل انعدام فردى و حدوث فردى ديگر از كتم عدم است. پس نمى توان گفت زاويه قطر و محيط, بزرگ و بزرگ تر گشت تا به منفجره رسيد; بلكه از مقوله حركت دفعى فلسفى است; يعنى از نوع حركت توسطيّه فلسفى است, نه از نوع حركت قطعيّه. توضيح سخن آقا حسين (ره)
الف) در فلسفه بحثى است كه زاويه و شكل از مقوله كمّ است, يا از مقوله كيف؟ اكثر دانشمندان معتقدند زاويه و شكل عبارت است از كيفيت; يعنى هيأتى است كه عارض كمّ مى شود و از احاطه يك حدّ (مانند دايره كه از احاطه يك حدّ و خط پديد مى آيد) يا چند حدّ و خط پديد مى آيد, مانند شكل مثلث, مربع, كثيرالاضاع و… كه هر كدام داراى زاويه هايى هستند. بنابراين در تعريف زاويه گفته اند (هى الهيأة الحاصلة من احاطة حدّين او حدود متلاقية فى حدٍّ غير تامّة). زاويه عبارت است از هيأتى كه از احاطه غير تامّه دو حدّ يا حدودى كه در حدّ ديگرى تلاقى كرده حاصل شده است, مانند زاويه مسطّح كه از احاطه دو خط متلاقى در يك نقطه پديد مى آيد و مثل زاويه مجسم كه از احاطه سطح مخروط كه به نقط رأس منتهى مى گردد, حاصل مى شود.
تنها برخى زاويه را از مقوله كم دانسته اند; زيرا (قسمت), (مساوات), و (عدم مساوات)پذير است كه اينها از ويژگى هاى كم به حساب مى روند.
ابن هيثم در پاسخ گفته است:
حقيقت زاويه با يك, يا چند مرتبه چند برابر شدن از ميان مى رود; مثلاً زاويه قائمه اگر دو چندان شود, ديگر زاويه قائمه نيست, چنانكه زاويه حادّه مثلاً اگر چند برابر گردد, از بين مى رود و حقيقت زاويه حادّه بودنش تباه مى شود; در حالى كه مقوله (كم و مقدار) با تضعيف يا چند برابر شدن حقيقتش زائل و تباه نمى گردد.
ب) حكما در يك تقسيم, حركت را به توسطى و قطعى بخش پذير دانسته اند. حركت توسطى آن است كه جسم, بين مبدأ و منتها به گونه اى باشد كه هر نقطه اى كه در وسط فرض شود, متحرك, قبل از آن و بعد از آن در آن نقطه نباشد. اين حركت, يك حالت بسيط ثابتى است كه هيچ تقسيمى در آن راه ندارد, و در مقام ما وقتى قطر, زاويه3 را پشت سر گذاشت نمى توان گفت تا رسيدن به زاويه حادّه اى كه از دو خط مستقيم تشكيل مى يابد به نقطه اى مى رسد كه مثلاً برابر زاويه قائمه مى گردد, زيرا زاويه قائمه در مسير حركت نبوده است.
حركت قطعى آن است كه يك جسم مثلاً بين مبدأ و منتها به گونه اى فرض شود كه در طى نقاط مسافت, نقطه اى را رها كرده و به نقطه ديگر هنوز نرسيده است; يعنى قوه اى تبديل به فعل گشته و قوّه اى هنوز به فعليت نرسيده و متحرك, آن را تبديل به فعل مى كند. بنابراين هر حدّى از حدود مسافت فعليت است بر قوّه سابق و قوّه است بر فعليت لاحق, و لازمه اين حالت, تقسيم شدن به اجزاء, سپرى گشتن و گذشتن تدريجى آن مى باشد. اجزاى اين نوع حركت, در خارج اجتماع ندارند.
اما تصويرى كه انسان از حركت دارد و مقاطع آن را در قوه خيال خود گرد مى آورد و به عنوانى يك صورت متّصله از حركت, تصور مى كند, چنين تصويرى تنها يك امر ذهنى است و وجود خارجى ندارد; به اين دليل كه اجتماع اجزاى حركت, ممكن نيست و اگر امكان پذير باشد ديگر حركت, تغيير و انتقال نخواهد بود.1 پاسخ سوم
دانشمندى گفته است: طفره در حركت به اعتبار انواع حركت به چهار قسم است: طفره در حركت مكانى (اين), (كمّى), (وضعى). و (كيفى). بديهى است كه طفره در حركت وضعى تصور ندارد, زيرا در اينجا حركت وضعى تحقق نگرفته است. بنابراين بايد طفره ضمن حركت كمى و يا كيفى بوده باشد; يعنى يك متحرك شخصى, در هر آنى به فردى از افراد, يا به نوعى از انواع مقوله كم يا كيف متصف باشد. ولى در مقام ما متحركات غير متناهيه وجود دارند و در هر آنى, فردى از آنها (در مقوله كم) و يا نوعى از آنها (در مقوله كيف) موجود مى شود, در نتيجه يكى از افراد آنها زاويه قائمه است, پس طفره اى به وقوع نپيوسته است.
ليكن اين پاسخ مورد پسند آقا حسين ـ قدس سره ـ واقع نشده و گفته است: اگر متحركات, غيرمتناهى هستند و در هر آن, فردى از آنها موجود مى شود, چرا فرد پايين و بالا (اسفل و اعلى= زاويه حادّة, مثلاً و زاويه منفرجه, در بحث ما) يافت شوند و فرد متوسط يافت نشود؟ آيا مى توان گفت: ده ذراع موجود است, صد ذراع هم موجود است, ولى بيست ذراع موجود نيست؟
پس بهتر است در پاسخ گفته شود: حدوث مقدار بزرگ, دفعى است و هنگام پيدايش آن لازم نيست به فرد متوسط برسد; مثلاً وقتى ده ذراع موجود باشد, سپس ده ذراع ديگر به آن اضافه شود, يك دفعه بيست ذراع مى گردد و لازم نيست در اين اثنا به پانزده ذراع برسد و سپس بيست ذراع گردد. پاسخ چهارم
اين پاسخ به دو گونه قابل تقرير و تحرير است:
اوّلاً: امكان دارد خطى قائم بر قطر متحرك در زاويه منفرجه (زاويه3« حادّه ب, و بَ) توهّم شود. در اين صورت زاويه قائمه تصور گشته و طفره برطرف شده است.
ثانياً: ممكن است زاويه اى به اندازه زاويه اى كه ميان خط مماس و محيط بيرونى دايره (يعنى زاويه2) به زاويه3 افزود, زيرا هر دو, در زاويه منفرجه مزبور وجود دارند. ليكن از نظر آقا حسين خوانسارى ـ رضوان الله تعالى عليه ـ اين پاسخ با اصل دفعى پديد آمدن زاويه منفرجه همخوانى ندارد, بلكه با قول به پيدايش تدريجى زاويه سازگار است, و در اين صورت, سخن از طفره به طور كلّى بايد بى اساس باشد. پاسخ پنجم
وقتى قطر دايره حركت كند, در حين حركت زاويه هاى بالفعل پديد نخواهد آمد, بلكه در اثناى حركت, همه آنها بالقوه مى باشند, و هنگامى كه حركت به پايان رسيد, همه زوايا بالفعل خواهند گشت. در مقام ما هنگامى كه قطر حركت كرد و يك زاويه حادّه مستقيم الخطين پديد آمد, زاويه اى بالقوه كوچك تر از حادّه يعنى به اندازه زاويه2, تحصيل كرده كه هرگاه به زاويه3 (بزرگ ترين زاويه حادّه) ضميمه گردد, به اندازه يك زاويه قائمه مى گردد. با اين فرض ديگر طفره اى در كار نيست; به ويژه كه مسائل رياضى نوعاً بر پايه فرض, استوار مى باشند.
آقا حسين(ره) نيز همان پاسخ قبل را تكرار مى كند كه با اصل پيدايش دفعى زاويه منفرجه سازگار نيست. پس وقتى زاويه اى بى نهايت حادّ و كوچك از دو خط مستقيم پديد آيد, دفعتاً يك زاويه منفرجه حادث شده, و شبهه طفره را همراه خواهد داشت. بنابراين بهترين پاسخ نزد آقا حسين(ره) همان پاسخى است كه از محقّق دوانى رسيده است. اين پاسخ چنان كه كراراً اشاره شد بر اصل بساطت كيفيّات مختص به كميّات استوار گشته و آقاحسين آن را موافق مبناى فلسفى خود دانسته است.
ديدگاه صدرالمتألهين ـ قدس سره ـ در اسفار
صدرالمتألهين (م1050هـ.ق.) نخست ديدگاه دو گروه را پيرامون زاويه به نگارش آورده و گفته است: گروهى, زاويه را از مقوله (كم) (=چند) دانسته, و هرچه از اين مقوله باشد تقسيم پذير است, در نتيجه زاويه تقسيم پذير است.
دسته ديگر استدلال مى كنند كه زاويه پذيراى (مشابهت) و (عدم مشابهت) است و هر چيزى كه چنين ويژگى را دارا باشد, از كيفيات (=چون) است, و كيفيات تقسيم پذير نيستند, پس زاويه تقسيم پذير نيست و امرى است بسيط.
صدرا مى گويد:
انصاف آن است كه زاويه از يك جهت و حيث مانند شكل داراى مقدار و اندازه است, از اين رو سطحى است پذيراى قسمت; مثلاً در وسط زاويه مى توان يك يا چند خط از وتر به سر زاويه رسم كرد و آن را تقسيم نمود. و از جهت و حيث ديگر زاويه هيأتى است همراه با تناهى و انقطاع, تناهى و انقطاع عبارت اند از عدم مقدار; مثلاً دايره هيأتى است كه قابليت بخش پذيرى ندارد و اگر تقسيم شود حيثيت دايره بودن در او محفوظ نمى ماند. بنابراين زاويه هيأت و كيفيّتى است بخش ناپذير كه عارض شىء ديگر به عنوان معروض گشته, و معروض او تقسيم پذير است, نه خود او.2
ليكن جاى يك پرسش باقى است, و آن اين است كه با توجّه به قاعده متين و اصيلى كه حكما دارند و مى گويند: (مقولات, همه با هم متباين بالذات هستند) آيا مى توان حقيقت يك شئ همچون زاويه را با دو مقوله متباين تعريف كرد؟ و آيا دو مقوله متباين مى توانند جزء مقوّم او در تعريف باشند, تا بتوان گفت زاويه از يك حيث تقسيم پذير و از حيث ديگر تقسيم ناپذير است؟
صدرا با همه انصافى كه در اين زمينه به خرج داده و خواسته است به گونه اى بين دو مبنا را جمع كند, با اين وجود موازين منطق با رأى او همراه نيست. زيرا ماهيت زاويه يك چيز بيش نيست و در يكى از دو مقوله كم يا كيف جاى دارد و دو جنس متباين نمى توانند يك حقيقت نوعيه را تعريف كنند; مثلاً آب و آتش قابل اجتماع و در يك تعريف نيستند.
شايان تكرار است كه سخن در مقام هويت خارجى و عروض زاويه نيست, و انكارى نيست كه زاويه در اين مقام, عارض سطح يا جسم مى گردد و از كيفيات مختص به كميّات به شمار مى آيد, بلكه سخن در صقع ماهوى و حقيقت ذاتى زاويه است. بنابراين تفصيل صدرالمتألهين ـ قدس سره ـ بى وجه است.
نتيجه اينكه: اگر زاويه كميّت باشد, جايى براى طفره باقى نمى ماند; زيرا قطر متحرك پس از حركت به ويژه در حركت قطعيه در اثناى قهراً به اندازه زاويه قائمه گشته سپس منفرجه مى گردد.
و اگر كيفيت باشد, كيفيات, بسيط به شمار مى روند. در اين صورت بايد گفت تصوّر زاويه قائمه در مسير حركت قطر, به طور كلى جايى ندارد, و طرح بحث طفره از ريشه بى اساس است. 1. ر.ك: صدرالمتألهين, اسفار اربعه, ج4, ص179, دار احياء تراث عربى, 1981; علامه طباطبايى, نهاية الحكمة, ص103 و 180, مركز انتشارات دارالتبليغ اسلامى.
2. اسفار, 4/179 و بعد.